Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
a) arc cos (—у); б) arc cos у; в) arctg^; г) arctg(—4); д) arc ctg (— Щ; е) arc ctg 2.
330 Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
17. Выразить через арккосинус значения обратных тригонометрических функций: a) arc sin -і-; б) arctg3; в) arc ctg ~;
r) arctg(—2); д) arc sin ^—^j; e) arc ctg (—3).
18, Выразить через арктангенс следующие значения обратных тригонометрических функций:
a) arc sin ~; б) arc sin ^— ; в) arc cos ~; г) arc cos ^—д) arc ctg 4; е) arc ctg ^—^j.
19. Выразить через арккотангенс следующие значения обратных тригонометрических функций:
a) arc sin ~; б) arc sin ^— ; в) arc tg ^;
г) arc tg ^— ; д) arc cos ~; е) arc cos -|-.
20. Пользуясь формулами сложения, произвести указанные действия:
. 1 . . 2 .2 .1
a) arc sin -^--f- arc sin -^-; б) arc sin -^-—arc sin ~;
в) arc cos •g- -j- arc cos ¦^-1 r) arc cos ¦g- — arc cos-^;
д) arctg Y+arctg-i-; e) arctg — —arctg--;
2
ж) arc ctg-^- +arc ctg 3; з) arc ctg 2 — arc ctg 5.
21. Произвести указанные действия:
а) arc sin ^— + arc cos ~ j;
б) arc tg (— 2) + arc sin + arc ctg ^— ;
/ 2\ . 2
в) arc cos у—-g-J — arc sin •^-;
3 2 3
r) arc tg у -f- arc tg — arc sin .
22. Применить формулы удвоения:
a) 2 arc sin |/"-|; 6) 2 arc cos }/""-§-; в) 2arctg3; r) 2arcctg~.
23. Применить формулы удвоения:
a) 2 arc cos ^—6) 2arctg(—5); в) 2 arc ctg ~j.
24. Применить формулы первой и шестой групп:
а) у arc sin ^—^j;
б) ~ arc cos (—"f);
в) ~ arc ctg (—у)-
Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 331
25. Применить формулы шестой группы:
ч 1 .3
а) 2" arc sin j;
б) у arc cos у;
в) ~arctg3.
26. Доказать, что:
. 3
_ QtV TfT _ - _
a) 2arctg2 —arctg-| = 4»
б) 4arctg~ —arctg^§ = ~;
v о - 1 і 11 те
в) 3 arc sin-j+ arccos^ = -j.
27. Вычислить
arc cos (--arc ctg (-.
28. Вычислить
3 arc sin -|- + arc cos -^r.
29. Доказать, что
arc tg ~ + arc tg ~ + arc tg у + arc tg ~ = ~ ,
30. Вычислить
cos2 (arc tg y) — sin (4 arc tg . Доказать следующие соотношения:
31. arc tg /"-—~ + arc sin = arc tg r- — •
o /2 ^ /2 o /2-1
• і /" 2 —/3 . /3 , 1
32. arc sin I /----h- arc cos ---h- arc cos -^=- =
У 4 1 2 1 /2 2
33. arc sin — 4- arc sin —\=- + arc sin -д=- = —.
З 3/ІІ /11 2
QA . 3 . 11 , . 1 5tu
34. arc sin —==? -4- arc cos __+ arc sin — = —,
/73 1 /146 2 12
or • 3/3~+4 . 3 тс
35. arc sin '--arc sin-^ = -r.
10 5 6
tc
36.
cos (2 arc tg у) = sin (4 arc tg -^-).
on -ш/~2 /6+1
37. arc cos у ——arc cos- 1
3 2/3 б'
38. 2arctg~ + arctg2g = -J.
1 1 2
39. arc tg у + arc tg -f- arc tg -3 = arc tg 5.
іЛ . 4 , . 5 , . 16 тс
40. arc sin + arc sin ^ + arc sin == у.
332 Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦЩ
Преобразовать следующие выражения:
41. cos (arc tg;c +arc tg j/).
42. tg (2 arcsin л:).
43. cos (arc sin Y1 — x — arc sin У x).
44. ctg [arc tg x +- arc tg (1 — x) J.
45. sin (y arc sin a:) .
46. cos (у arc cos дг),
47. cos (3 arc cos a;).
48. cos (4 arc cos л:).
49. tg (5 arc tg x).
50. sin(3 arctgA:).
61. sin (Загс sin л:).
62. arc cos (2x2—I)-J- 2 arc sin x.
63. 2 arc cos у —^--h arc sm —^-•
64. sin (-i- arc sin x^j. 66. cos (у arc cos •
56. tg(y arctgA:).
57. ctg (у arc ctg аг).
68. cos (arc tg л: -j- arc ctg x).
69. tg (2 arc cos л:).
60. sin [arc cos (1 — x) -f- arc cos аг].
61. ctg (2 arc"sin X +- 3 arc cos л:).
62. 2 tg fare cos . 1 _ — arc cos r x \,
63. 2 tg (arc tg X +- arc tg л:3).
64. tg + у arc COS7J + tg — у arc cos - J.
Доказать следующие соотношения: .
66. arc tgx+- arc tg у = arc tg ¦ ^J"/ + єтс,
где s = 0, если jc j/ < 1; є = — 1, если Jtj/> — 1 и аг < О и е = 1, если
atj/ > 1, x >0.
66. Если
arc tg аг -|~ arc tg j; -f~ arc tg z = те,
то
x+- у+-z = xyz.
f arc sin 1 — а:2, если O ^ a: <; 1;
67. arc cos x = I _
I ти — arcsin Vl — x2, если —1<a;<0.
Тригонометрия. Гл. XXVIIL ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 333
68.
69.
70.
71. aresin
arctg
arc cos
arc cos
1
1
, если x 0;
, если X <;o.
arc ig X =
arc ctg —, если X > 0;
arc
arc ctg ^—^j9 если X < 0.
1 f 0, если X > 0; tg X — arc ctg -— = <
¦* I —тс, если X < 0.
О, если X ^ 0;
У" 1 + х2 в
arc cos
Y\ + I тс — 2 arc cos -
-, если X 0.
72. arc sin X + arc sin j; =
73. arc sin X — arc sin у =
74. arc tg X — arc tg у =
Yl+jfl
arc sin (x Vl—y2-\-yVl—x2), если xy^.0
или X2 + у2 ^ І;
тс— arc sin (x Vl—y2-\-yV^—X2)* если x > P»
j/>0 и х2 + /> 1;
—тс—arc sin(x Vl—У2Л~уУ\—-*2)» если < 0»
