Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
41. Найти радиус г цилиндра, ось которого параллельна ребру ВС пирамиды SABC9 а окружности оснований пересекают ребра трехгранных углов В и C9 если AB = AC9 BC=U9 / ВАС = 90°, SA±nn. ABC9 SA = S9 h : г = 3 : 5 (h — высота цилиндра).
42. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно 1. Прямая, соединяющая середины AB и CD9 служит осью цилиндра, каждая из окружностей оснований которого пересекает остальные ребра тетраэдра. Найти высоту цилиндра, если она относится к его радиусу, как 2:3.
43. Ребро куба равно 1. Найти радиус цилиндрической поверхности, проходящей через б вершин куба, если ее ось параллельна 1) диагонали куба, 2) диагонали его грани.
44. Основанием пирамиды с равными двугранными -углами при основании служит параллелограмм, диагонали которого равны 30 и 24. Цилиндрическая поверхность, ось которой параллельна одному из боковых ребер пирамиды, проходит через все ее вершины. Найди длину бокового ребра.
45. Центры четырех сфер радиуса г служат вершинами углов квадрата со стороной 2г. Найти радиус касательной к сферам цилиндрической поверхности, ось которой перпендикулярна стороне квадрата и образует с его плоскостью угол 45°.
§ 9, ЦИЛИНДР, КОНУС, СФЕРА, МНОГОГРАННИКИ
289
45. Центры трех сфер радиуса г служат вершинами равностороннего треугольника со стороной 2г. Найти радиус касательной к сферам цилиндрической поверхности, ось которой перпендикулярна стороне треугольника и образует с его плоскостью угол а = 30°.
47. Центры четырех сфер радиуса г служат вершинами правильного тетраэдра с ребром 2г. Найти радиус цилиндрической поверхности, касающейся всех сфер, если ее ось перпендикулярна прямой, соединяющей середины непересекающихся ребер тетраэдра, и образует с одним из этих ребер угол а =45°.
48. Центры пяти сфер радиуса г служат вершинами правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны между собой. Цилиндрическая поверхность, ось которой перпендикулярна стороне основания пирамиды, касается всех сфер. Найти 1) угол между высотой пирамиды и осью цилиндра, 2) радиус цилиндрической поверхности.
49. ABCD — правильный тетраэдр, ребро которого равно а. Точки А и В служат вершинами двух равных касающихся друг друга конических поверхностей, оси которых — соответственно AD и ВС. Найти радиусы'сечений этих конических поверхностей, проведенных через точку касания перпендикулярно их осям.
50. ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром а. Точки А и B1 служат вершинами двух -равных касающихся друг друга конических поверхностей, осями которых служат прямые AC и B1D1. Найти радиусы сечений, перпендикулярных осям конусов и проходящих через точку касания.
61. Диагонали AD1 и DC1 граней куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а служат осями двух равных касающихся друг друга конических поверхностей. Найти^радиу-сы сечений этих конических поверхностей плоскостями, перпендикулярными их осям и проходящими через точку касания, если, вершины конических поверхностей совпадают с 1) D и D1; 2) Л и C1; 3) C1 и D1.
52. Прямая, соединяющая середины ребер AB и CD правильного тетраэдра ABCD9 служит осью конуса, вершина которого совпадает с ее концом. Найти отношение объема конуса к объему тетраэдра, если окружность основания конуса касается
а) двух граней тетраэдра в их центрах;
б) четырех граней тетраэдра.
53. Ребро куба равно 1. Его диагональ SS1 служит осью непересекающего куб конуса, вершина которого находится в точке .S1, а окружность основания касается трех граней куба. Найти объем конуса, если окружность его основания:
а) пересекает прямые, соединяющие середины параллельных ребер куба, выходящих из 5 и S1;
б) касается трех граней куба в их центрах;
в) касается всех граней куба;
г) пересекает остальные диагонали куба.
54. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде ABCDA1B1C1D1 даны ребро AB = 2, /Л1ЛС = 45°; диагональ A1C пирамиды служит осью конуса, вершина которого находится в A19 а окружность основания касается трех граней угла С, причем грани ABCD в ее центре. Найти радиус г основания конуса.
55. Три равносторонних конуса, радиус основания каждого из которых равен г, расположены так, что каждые два имеют по одной общей образующей. Найти 1) объем пирамиды, вершинами которой служат общая вершина конусов и центры их оснований; 2) радиус конуса, имеющего с каждым из данных по одной общей образующей.
56. На плоскости, вокруг общей вершины, лежат шесть равных и последовательно касающихся друг друга конусов. На конусах лежит шар, касаясь
290 Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
их боковых поверхностей в точках, находящихся на окружностях основа." ний, Найти отношение объема шара к сумме объемов конусов. 67. Прямая, соединяющая середины PnQ ребер AB и CD правильного тетраэдра ABCD9 служит осью конуса, вершина которого совпадает с серединой AB1 а окружность основания касается граней двугранного угла с ребром CD4 Зная, что высота тетраэдра равна 1, найти длину ее отрезка, заключенного внутри конуса, если его высота относится к PQ9 как 1) 2:3, 2) 5:6, 3) 7 : 12, 4) 1 : 2, 5) 1 : 3, 6) 1 : 6.
