Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
в гомотетии ^A,^=~^j. Вывести отсюда площадь параллелограмма (P)
и объем V пирамиды SA'M'LN' в функции k, a, O1 с, I и а. 3°. Каково геометрическое место точек S1 для которых площадь параллелограмма (P) задана? Каково геометрическое место точек S1 для которых объем V имеет данную величину? 4°. Найти геометрическое место точек S1 для которых: (P) — прямоугольник, (P) — ромб, (P)—квадрат; каково в последнем случае геометрическое место вершин квадрата? Вычислить SB и SC в функции b и с. Вычислить стороны квадрата. 19***. В пространстве фиксированы две различные точки О и Я; будем называть тетраэдр ортоцентрическим, если его высоты пересекаются в одной точке. Обозначим через (T) всякий ортоцентрический тетраэдр, для которого точка О служит центром описанной сферы, а точка H (ортоцентр) — точкой пересечения высот.
Для решения ряда поставленных выше вопросов полезно установить следующие характеристические свойства ортоцентрического тетраэдра:
а) два любых скрещивающихся ребра ортогональны;
б) три отрезка, концами каждого из которых являются середины двух скрещивающихся ребер, имеют одинаковую длину;
в) каждая из высот тетраэдра проходит через ортоцентр противоположной грани.
Доказать, что для ортоцентрического тетраэдра три прямые, каждая из которых является общим перпендикуляром для двух скрещивающихся ребер, проходят через одну точку — ортоцентр (точку пересечения высот тетраэдра) и что центр тяжести ортоцентрического тетраэдра делит пополам отрезок ОН. Обозначим вершины тетраэдра (T) буквами A1 B1 C1 D1 а его центр тяжести— буквой О.
1°. Построить тетраэдр (T)1 зная одну из его вершин D; исследовать. Найти для таких тетраэдров (T) (т. е. для тетраэдров (T) с фиксированной вершиной D) геометрическое место вершин и огибающую сторон грани ABC1 противолежащей фиксированной вершине D. Определить область пространства, где расположены вершины всех тетраэдров (T). Построить тетраэдр (T)1 для которого грань ABC расположена в данной плоскости; исследовать. Найти для этих тетраэдров геометрическое место вершин и огибающую сторон треугольника ABC. Как можно охарактеризовать плоскости (TI)1 в которых лежат грани тетраэдра (T). 2°. Дана прямая (X). Построить тетраэдр (T)1 для которого одно из ребер лежит на прямой (Х)\ исследовать. Как можно охарактеризовать прямые, на которых лежат ребрз тетраэдра (T)? Пусть в пространстве фиксирована точка S; определить множество прямых,
Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
295
проходящих через точку S, таких, что на каждой из них можно поместить одно из ребер одного из тетраэдров (T).
Пусть задана плоскость (P); определить в этой плоскости прямые (X)1 т. е. прямые, на которых могут быть расположены ребра тетраэдра (T).
Фиксирована точка 5; рассматриваются те из тетраэдров (T), для каждого из которых одно из ребер лежит на произвольной прямой SX1 проходящей через S; обозначим через Y прямую, на которой лежит противоположное ребро такого тетраэдра.
Изучить распределение прямых К, соответствующих всем прямым SX, проходящим через 5. Показать, что эти прямые Y ортогональны некоторой фиксированной прямой, и определить огибающую тех прямых Y, которые расположены в какой-нибудь плоскости, перпендикулярной этой фиксированной прямой. Построить тетраэдр (T), зная точки S и У, через которые проходят два его скрещивающихся ребра; исследовать.
Глава XXIV
ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1. Доказать, что две плоскости, проходящие через концы трех ребер параллелепипеда, сходящихся в концах диагонали параллелепипеда, рассекают эту диагональ на три равные части.
2. Доказать, что если треугольник A1B1C1 является ортогональной проекцией на основание правильной четырехугольной пирамиды треугольника ABC, расположенного на одной из боковых граней этой пирамиды, а треугольник A2B2C2 — ортогональной проекцией треугольника AxB1C1 на другую боковую грань, то треугольник A2B2C2 подобен треугольнику ABC
3. Доказать, что если одна из вершин треугольной пирамиды проектируется в ортоцентр противоположной грани, то и другие вершины этой пирамиды обладают этим свойством.
4. Дана треугольная пирамида. Доказать, что
~R = Т[ + T2 + 7^"+ Tl*
где R— радиус шара, вписанного в пирамиду, a A1, A2, A3, A4 — высоты пирамиды.
б. Доказать, что сумма расстояний от любой точки М, лежащей на одной из граней тетраэдра, до трех его других граней не зависит от положения точки M в выбранной грани.
6. Доказать, что квадрат площади треугольника равен сумме квадратов площадей его проекций на три взаимно-перпендикулярные плоскости.
7. Две треугольные пирамиды имеют при вершинах равные трехгранные углы. Доказать, что отношение их объемов равно отношению произведений их ребер, сходящихся в вершинах.
8. В пространстве дан четырехгранный угол и точка Р. Доказать, что через точку P можно провести плоскость, которая рассекает угол по параллелограмму.
9. Дана пирамида ABCD. Строим новую пирамиду A'B'CD' следующим образом: точки А'', В' определяем как симметричные точкам А, В относительно произвольной точки О', лежащей на прямой AB, а точки С, D' определяем как симметричные точкам С, D относительно произвольной точки О", лежащей на прямой CD. Доказать, что объемы пирамид равны.
