Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Доказать, что высота треугольника ACD1 выходящая из A1 и высота треугольника BCD1 выходящая из B1 пересекаются в точке Н. Доказать, что AH=BH.
3°. Пусть HK = (I1 AB = 2а, HC = х. Вычислить CA. Какое соотношение должно существовать между а и d для того, чтобы плоскости ACD и BCD были перпендикулярны?
4°. Пусть D' — ортогональная проекция D на плоскость ABC. Установить следующее: а) точка D' лежит на прямой CK; б) для того, чтобы DB была ортогональна AC1 необходимо и достаточно, чтобы точка D' была ортоцентром треугольника ABC Доказать, что в этом случае DA J_ ВС.
Приложение. Пусть даны равнобедренный треугольник CAB (AB — основание) и прямая Cx1 перпендикулярная AB. Доказать, что, вообще говоря, на прямой Cx существует, и притом только одна, точка такая, что прямые AC и DB ортогональны. Каков здесь исключительный случай?
34. В пространстве даны две фиксированные скрещивающиеся и взаимно-перпендикулярные прямые: х'X и у'у; OI — их общий перпендикуляр (точка О на х'х, точка / на угу). Пусть OI =d. На прямой х'х по одну и по другую сторону от точки О берут точки AwB такие, что OA = a, OB = Ь. На прямой у'у берется точка М.
1°. Пусть d2 = ab. Доказать, что тогда при любом выборе точки M на у'у прямые AM и BI будут ортогональны. Вычислить в функции только а и Ь объем тетраэдра MIAB1 если IM = d.
2°. Теперь предположим, что d2 Ф ab. Обозначим через В' ортогональную проекцию точки В на плоскость, проходящую через точку А и прямую у'у. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки В на AM при условии, что точка M описывает прямую у'у.
3°. Доказать, что каждой точке M прямой у'у соответствует точка N той же прямой такая, что AM±_NB. Как построить эту точку? Доказать, что M — ортоцентр треугольника AB'N1 и использовать этот результат для доказательства того, что AN J_ BM (можно, например, доказать, что AN перпендикулярна плоскости BMB').
4°. Доказать, что произведение IM • IN сохраняет постоянную величину, если точка M описывает прямую у'у. Вычислить это произведение
Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
299
в функции a, b и d. Предположим, что d2 = ab; что можно сказать о положении точки N в двух следующих случаях?
а) M занимает на прямой у'у положение, отличное от /;
б) M совпадает с /.
35. Скрещивающиеся оси XіAX и Y'BY пространства образуют между собой угол 60° (угол между их положительными направлениями). Пусть ЛБ—отрезок, концы которого лежат соответственно на двух данных осях и который перпендикулярен к ним обеим. Пусть О — точка, лежащая на отрезке AB
OA
и такая, что —г = — 2. Пусть OA= За. Точка M описывает ось Х'Х, OB
а точка N— ось Y'Y так, что все время AM = 2BN = 2х. 1°. Доказать, что MN ±Y'Y.
2°. Доказать, что плоскость (P), перпендикулярная в точке О к AB, пересекает плоскость OMN по фиксированной прямой (D), и определить направление прямой (D) относительно данных осей.
3°. Доказать, что и обратно — всякая плоскость, проходящая через прямую (D) и неперпендикулярная AB, пересекает оси Х'Х и Y'Y соответственно в точках M и N таких, что AM = 2BN и что MN XK7K.
4°. Определить X так, чтобы /МОЛ/ = 90°, и показать, что на AB существует тогда еще одна точка О' такая, что /_MO'N = 90°.
5°. Пусть / MON = 90°. Найти синус угла прямой AB с плоскостью MON.
36. Пусть ABCD — тетраэдр.
1°. Доказать, что если AB _j_ CD и AC±BD, то и ADJ_BC (такой тетраэдр будем называть ортоцентрическим); доказать, что высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке и что основания высот тетраэдра проходят через ортоцентры граней, на которые они опущены. Обратно, если высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то тетраэдр ортоцентрический.
2°. Доказать, что если для тетраэдра ABCD имеют место соотношения
DB-DC-COS IBDC = DC-DA*cos ICDA = DA • DB • cos ?ADB, то тетраэдр ортоцентрический.
Доказать, что в ортоцентрическом тетраэдре все плоские углы любого трехгранного угла или все острые, или все тупые; показать, что из четырех трехгранных углов ортоцентрического тетраэдра имеется не более чем один угол, в котором сходятся три плоских тупых угла.
3°. Рассмотрим прямые A'DA", B'DB", CDC9 проходящие через одну точку D' и не лежащие в одной плоскости; предположим, что среди них нет ни одной пары взаимно-перпендикулярных прямых (DA' и DA" — взаимно противоположные лучи прямой A'DA"; то же относительно DB' и DB", DC и DC"). Рассмотрим всевозможные трехгранные углы, которые образованы одним из лучей DA', DA", одним из лучей DB', DB" и одним из лучей DC, DC". Доказать, что только для двух из этих углов все плоские углы, прилежащие к вершине D, будут острыми (или все тупыми).
4°. Возьмем на прямой A'DА" произвольную точку А, отличную от D. Пусть плоскость, проходящая через А ортогонально B'DB", пересекает CDC" в точке С, а плоскость, проходящая через А перпендикулярно CDC", пересекает B'DB" в точке В. Доказать, что ABCD — ортоцентрический тетраэдр.
5°. Доказать, что для того, чтобы тетраэдр ABCD был ортоцентрическим, необходимо и достаточно, чтобы
