Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + CB2.
300
Стереометрия. Гл. XXIV. -ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
37. Даны окружности (С) и (С), расположенные в двух параллельных плоскостях, причем прямая, соединяющая их центры О и О', перпендикулярна этим плоскостям. Радиусы этих окружностей соответственно равны R= 15 см и R' = 20 см, а расстояние между их центрами равно 25 см. Пусть точка А описывает окружность ((7), а точка А' — окружность (С), притом так, что радиусы OA и OA' все время остаются взаимно-перпендикулярными.
1°. Доказать, что длина отрезка AA' и угол, образуемый этим отрезком с прямой 00', постоянны. Найти длину отрезка AA* и величину указанного угла.
2°. Построить общий перпендикуляр к прямым AA' и 00'. Пусть этот общий перпендикуляр пересекает 00' в точке /, a AA'—в точке К. Доказать, что точка / остается фиксированной, а расстояние IK постоянно, если А и А' изменяются так, как указано выше.
3°. Из 2° следует, что точка К принадлежит окружности (Гу, определить ее плоскость, центр и радиус. Обратно, доказать, что через каждую точку К окружности (Г) проходят две и только две прямые: (D) и (Д), каждая из которых пересекает обе окружности: (С) и (С). Доказать, что радиусы окружностей (С) и (C'), идущие в точки пересечения прямой (D) с окружностями (С) и (С), взаимно-перпендикулярны (то же и для Д) и что сами прямые (D) и (Д) также взтимнэ-перпендикулярны.
38. Рассмотрим тетраэдр ABCD, ребра DA, DB и DC которого попарно взаимно-перпендикулярны. Пусть О — центр описанной вокруг него сферы, а радиус этой сферы равен R.
1°. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны расстояниям от трех вершин этого тетраэдра (в их числе есть точка D) до диаметра сферы (О), проходящего через четвертую вершину.
2°. Доказать, что если 5 — площадь этого треугольника, а а, Ь, с — длины ребер DA, DB и DC, то abc = 4Rs.
39. ABCD — тетраэдр. Обозначим через (P) плоскость, параллельную двум противоположным его ребрам AC и BD, и через E — точку, в которой (P) пересекает AB (рассмотреть только тот случай, когда точка E лежит между А и В).
1°. Доказать, что сечение тетраэдра плоскостью (P) есть параллелограмм.
2°. Предполагая, что точка E — середина AB, доказать, что три отрезка, соединяющие сег)едины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке — середине каждого из них.
3°. Можно ли выбрать E так, чтобы соответствующее сечение было ромбом? Вычислить в этом случае AE через длины ребер тетраэдра.
4°. Для какого тетраэдра сечение будет прямоугольником? Доказать, что если сечение плоскостью, параллельной AC и BD, есть прямоугольник, сечгние плоскостью, параллельной AD и CB, тоже прямоугольник, то и сечение плоскостью, параллельной AB и CD, также прямоугольник.
4Э**. Пусть О — центр сферы, описанной вокруг тетраэдра (T) = ABCD; G, Ga, Gb, Gc, Gd — соответственно центры тяжести тетраэдра (T) и граней BCD,
CDA, DAB и ABC; ((d)—сфера ^радиуса -у^, описанная вокруг тетраэдра
GaGbGcGd* (сфера двенадцати точек). Обозначим через Od, G'd, юа, Hd
* Так как тетраэдры (T) и GaGbGcGd соответствуют друг другу в гомотетии (G, —3),
TO Центр W Сферы определяется СООТНОШеНИеМ Gw = —-7г GO.
Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
301
ортогональные проекции точек O9 G9 a), H на грань ABC9 а через Df — точку, в которой высота DHd пересекает сферу (О).
1°. Доказать, что wtod = ~ DD'.
2°. Доказать, что если сфера (со) касается одной из граней тетраэдра (T)9 то ребра, идущие к вершинам этой грани, равны между собой и обратно.
3°. Если сфера (ш) касается двух граней тетраэдра (T)9 то 5 ребер равны между собой и обратно.
4°. Если сфера (ш) касается трех граней, то она касается и четвертой грани и обратно; тетраэдр (T) при этом правильный.
5°. Доказать, что тетраэдры A1BCD9 B1CAD9 C1DAB9 D1ABC9 имеющие одной из своих вершин точку A19 B19 C1, D19 симметричную одной из точек A9 В'9 C9 Dr относительно BCD9 CDA9 DAB и ABC9 имеют одну и ту же сферу двенадцати точек.
R
6°. Доказать, что отношение —, где R — радиус описанной вокруг
тетраэдра сферы, г — радиус сферы, вписанной в этот тетраэдр, минимально в том случае, если тетраэдр правильный.
41. Пусть A9 B9 C9 D — вершины тетраэдра, а9 b9 C9 d — их ортогональные проекции на противоположные грани.
1°. Доказать, что если точка а расположена на высоте BH треугольника BCD9 то AB ±CD.
2°. Сформулировать и доказать обратное положение.
3°. Доказать, что если точка а совпадает с ортоцентром треугольника BCD9 то точки Ъ9 с9 d являются соответственно ортоцентрами граней ACD9 ABD и ABC
42. В плоскости (P) задана окружность (С) диаметра AB = 2R\ на перпендикуляре AS к плоскости (P) отложен отрезок AS = 2R. Точка M описывает окружность (С). Обозначим через H основание высоты, опущенной из А на сторону SM треугольника ASM.
1°. Доказать, что плоскости SAM и SBM перпендикулярны и что AH±_SB. Каково геометрическое место прямых АЮ Доказать, что геометрическое место точек H есть окружность; определить плоскость, в которой она расположена, ее центр и радиус.
