Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
10. Доказать, что если плоскость, проходящая через концы трех ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, отсекает от параллелепипеда правильный тетраэдр, то параллелепипед можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный шестиугольник.
11. В пространстве даны две пересекающиеся плоскости: (M) и (N). На линии их пересечения дана точка А. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости (M) и проходящих через точку А, наибольший угол с плоскостью (N) образует та, которая перпендикулярна линии пересечения плоскостей (M) и (N).
12. В пространстве даны точки O1, O2, O3 и точка А. Точка А симметрично отражается от точки O1, получается точка A1, точка A1 симметрично отра-
Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
297
жается от точки O2, получается точка A2; точка A2 симметрично отражается от точки O3, получается точка A3. Далее точка A3 последовательно отражается относительно точек O1, O2 и O3. Доказать, что последняя точка совпадает с точкой А.
13. Доказать, что существуют тетраэдры, высоты которых не пересекаются в одной точке.
14. Доказать, что всякая плоскость, проходящая через середины двух противоположных ребер тетраэдра, делит этот тетраэдр на две равновеликие части.
15. Доказать, что если в треугольной пирамиде все грани равновелики, то все они равны между собой.
16. Доказать, что в треугольной пирамиде с прямым трехгранным углом при вершине квадрат площади основания равен сумме квадратов площадей боковых граней.
17. Доказать, что если цилиндр пересечь наклонной плоскостью, затем разрезать его вдоль образующей и развернуть в плоскость, то линия, сечения развернется в синусоиду.
18. Доказать, что если сечение правильной четырехугольной пирамиды некоторой плоскостью представляет собой правильный треугольник, то боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы по 45°.
19. Дан трехгранный угол, все плоские углы которого прямые. На одном из ребер взята точка А, на другом — точка В, а на третьем — точка С. Обозначим вершину трехгранного угла буквой О, а проекцию этой вершины на плоскость ABC — буквой S. Доказать, что площадь треугольника AOB есть средняя пропорциональная между площадями треугольников ABC
29. Доказать, что объем тетраэдра равен произведению площади прямоугольника со сторонами, соответственно равными двум противоположным ребрам, на одну шестую кратчайшего расстояния между этими ребрами.
21. В тетраэдре A1A2A3A4 три пары противоположных ребер: A1A2, A3A4; A2A3, A4A1; A3A1, A2A4 — соответственно равны аи а4, а2, аъ, а3, а6. Доказать, что сумма произведений двух пар противоположных ребер больше произведения ребер третьей пары, т. е.
где /, j, k различны и принимают значения 1, 2, 3.
22. Доказать, что прямые, соединяющие вершины треугольной пирамиды с центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке.
23. Доказать, что во всяком выпуклом многограннике есть, по крайней мере, или одна треугольная грань, или один трехгранный угол.
24. Доказать, что если в треугольной пирамиде один из плоских углов при вершине прямой, а высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания, то и прочие плоские углы при вершине — прямые.
25. Доказать, что не существует выпуклого многогранника, имеющего 7 ребер.
26. Доказать, что если телесный угол шарового сектора содержит а стерадиан и ос < 2тг, а развертка конической поверхности этого сектора имеет центральный угол ? радиан, то
27. Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью не может оказаться правильным пятиугольником.
28. Около сферы описан пространственный четырехугольник. Доказать, что четыре точки касания лежат в одной плоскости.
29. Доказать, что полная поверхность конуса больше поверхности вписанного в него шара.
и ASB.
oA+3 + ?/*y+3> ^kul
298
Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
30. Боковая (т. е. сферическая) поверхность сферического сегмента (не являющегося полушаром) равна боковой (сферической) поверхности некоторого полушара. Доказать, что объем полушара больше объема сферического сегмента.
31. Три грани трехгранного угла со взаимно-перпендикулярными ребрами пересекают шар по трем кругам. Доказать, что сумма площадей этих кругов не изменится, если повернуть этот трехгранный угол вокруг его вершины так, чтобы его грани не перестали пересекать шар.
32. Вокруг правильного тетраэдра описана сфера. Доказать, что расстояния т, Yi1 pt q любой точки сферы от вершин тетраэдра удовлетворяют соотношению
т* -f- л4 -f- р4 -f <?4 = т2п2 -4- т2р2 + m2q2 -f- п2р2 + n2q°- -f- p2q2.
33. Даны точки AwB. Рассмотрим точки CwD такие, что треугольники CAB и DAB — равнобедренные (основание AB) и расположены в разных плоскостях.
1°. Доказать, что точки CwD лежат в плоскости, перпендикулярной AB. Что можно сказать про точку K1 в которой эта плоскость пересекает AB? Доказать, что CDJ_AB. Что дают предыдущие результаты, если плоскости CAB и DAB совпадают? Во всем дальнейшем будем предполагать, что эти плоскости различны.
