Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
10. Найти геометрическое место точек пространства, расположенных в заданной плоскости и равноудаленных от двух заданных точек.
П. Даны два скрещивающихся отрезка. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих каждую точку первого отрезка с каждой точкой второго.
12. В пространстве дана точка А. Найти геометрическое место ее проекций на всевозможные прямые, лежащие в данной плоскости р и проходящие через некоторую данную точку В этой плоскости.
13. В пространстве задана сфера S1. Пусть А и В — диаметрально противоположные то^ки этой сферы. На отрезке AB выбрана точка М, через которую произвольным образом проведена плоскость Р. На отрезке перпендикуляра к этой плоскости в точке М, заключенном внутри сферы S1, как на диаметре, построена сфера S2. Пусть M1 — произвольная точка пересечения плоскости P со сферой S2. Найти поверхность, описываемую отрезком MM1 при произвольном вращении плоскости P вокруг точки М.
14. В плоскости (P) фиксирована точка О. Переменная прямая (D) пересекает плоскость (P) в точке Н. Обозначим через (А) те из прямых, пересекающих плоскость (P), для которых угол (ОН, D)— прямой.
Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
293
1°. Найти геометрическое место прямых (А) при условии, что H—фиксированная точка.
2°. Найти геометрическое место прямых (А), параллельных фиксированной прямой.
3°. Найти геометрическое место прямых (А), проходящих через фиксированную точку пространства, не лежащую на плоскости (P).
4°. Рассмотрим на перпендикуляре к плоскости (P), проходящем через O1 точки А и В, симметрично расположенные относительно плоскости (P). Обозначим через А' и В' ортогональные проекции точек А и В на прямую (А). Доказать, что H—середина отрезка АВ\ и доказать, что AA = BB'.
5°. Доказать, что прямые (D), каждая из которых находится на равных расстояниях от фиксированных точек А и B1 определенных в 4°, суть прямые (А)..
15. Дан тетраэдр ABCD. Найти геометрическое место точек M таких, что
~~МА2 + ~МВ 2 = ~МС2 -+- AJD2.
16. На скрещивающихся прямых X и К даны два разных отрезка: AB = CD.
1°. а) Каково геометрическое место точек P таких, что PA = PC?
б) Каково геометрическое место точек P таких, что PA = PC и PB = PD? Доказать, что это геометрическое место есть прямая линия (и).
в) Каково геометрическое место точек P таких, что PA = PD и PB = PC? Доказать, что это геометрическое место есть прямая (v). Доказать, что прямые (и) и (v) имеют общую точку.
2°. Точка M описывает прямую X1 а точка N описывает прямую Y так, что MA = NC и MB = ND. Доказать, что плоскость-медиатриса MN проходит через (и). Пусть E — середина AB, F — середина CD. Доказать, что плоскость (uv) есть плоскость-медиатриса отрезка EF.
3°. Предположим теперь, что А, В, C1 D — вершины правильного тетраэдра. Пусть Е, F1 Q1 Н, К, L— соответственно середины AB1 CD1 AC1 AD1 BD, ВС. Каковы будут в этом случае прямые (и) и (V)? Что можно сказать также про прямые EF1 OK и HL? 17*. 1° Даны прямые D и D', не расположенные в одной плоскости. На этих прямых фиксируются точки: А — на прямой D и А — на прямой D''. Пусть M — переменная точка D, a M' — переменная точка D', причем AM = АМг. Каково геометрическое место середин отрезков ММГ? Каково геометрическое место точек, делящих отрезок MM' в данном отношении k?
2°. Пусть AhA выбраны на прямых DhD' так, что отрезок AA перпендикулярен каждой из этих прямых. Доказать, что тогда MM' образует равные углы с D и D'. Доказать, что если общая длина отрезков AM и AM' изменяется, то плоскость, перпендикулярная отрезку MM' в его середине, проходит через одну или другую из фиксированных прямых G1 и G2, все точки которых находятся от D и от D' на равных расстояниях.
3°. На прямых DhD' рассматриваются точки В и В'. Найти геометрическое место точек, делящих отрезок BB' в данном отношении k при условии, что отрезок BB' остается параллельным данной плоскости Р. Установить, что переменная прямая, пересекающая две фиксированные скрещивающиеся прямые и остающаяся параллельной данной плоскости, пересекает бесконечное множество других прямых, параллельных другой фиксированной плоскости.
294 Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
18*. Пусть L— фиксированная точка, взятая на высоте АН фиксированного треугольника ABC1 углы BwC которого острые; M—точка пересечения BL и AC1 a N— точка пересечения CL и AB.
1°. Пусть S — точка пространства, не лежащая в плоскости треугольника ABC Рассмотрим пирамиду с вершиной S и основанием AMLN. Доказать, что плоскость (R)1 проведенная через точку L параллельно плоскости SBC1 пересекает плоскость SML по прямой, параллельной SB. Пусть А\ M', N' — точки пересечения (R) с ребрами SA, SM1 SN1 доказать, что четырехугольник A'M'L'N' — параллелограмм; обозначим его через (P). 2°. Пусть К — ортогональная проекция точки S на прямую ВС. Положим SK = k, HA = U1 HB = b, НС = с, HL = I и обозначим через а двугранный угол между полуплоскостями BCA и BCS. Вычислить в функции k, Ъ, с площадь параллелограмма (P1), гомотетичного (P)
