Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
+ 360°п, т. е. при <р = 45° + 180°п = 45°, 225°; rmm = 2 при 2р = = - 90° + 360°п, т. е. при р = -45° + 180°п = 135°, 315°. Смежные экстремальные радиус-векторы при 45° и 135°. Искомая площадь
Зтг/4
If, ,9 19тт Зтт 7Ta2 7га2
равна - / (3 + sm2^>)2aV= -—. 1646.—. 1647.—. 1648.—.
2 J 8 4 2 4
тг/4
1649. г = a(sin Lp + cos р) = ал/2 cos [р — —^j ; rmax = ал/2 при р — — =
тг тх тх тх Ътх
= 0, р = -; rmm = 0 при р - - = ±-, р=-- и —. Площадь
Зтг/4
1 f TX тха2
S=— / (ал/2)2 cos2 (р — —^j dp = —. Ответ получается проще, если
-тг/4
перейти к декартовым координатам: ж2 + у2 = а(х + у) — окружность.
7а2 (Ютг + 27л/3)а2 За2
1650. -. 1651. ^---1652. -. 1653. 36. 1654. 12.
4тг 64 2
32 4 14 16
1655. —. 1656. - (см. рис. 52 на с. 307). 1657. —. 1658. 2. 1659. —.
OO OO
о
/Q -хл/х + 1 dx = — (см. рис. 49 на с. 307).
-і
1662. rmax = 4, когда 2р = 180°+360°n, р = 90° + 180°n = 90° или 270°; rmm = 2, когда 2р = 0° + 360°п, р = Ш°п = 0° или 180°. Площадь
Ответы
297
тг/2
If, , 197Г 37Г тга2 7га/
S=- / 3+ cos 2^>2aV =-. 1663.—. 1664. -. 1665. -
2 у ; 8 4 2 4
о
а
2
6 11
1666. —(е27Г - е"27Г) = — sh27r. 1667. 4а& arctg . _____
4 1 '2 S а 8
1669. nph2. 1670. ——-. 1671. 12тг. 1672. 58, 5тг. 1673. 2тг2а26.
4/sh2 \ 512тг 7 , , 512тг
1674. тга3 — +1 . 1675.——. 1676. -тга3. 1677. Зтг2. 1678.
2 J 15 6 7
7Г / 57Г л/зЛ Жа3 7Г2 647Г (7Г+2)7Г
1679.---Ь— • 1680.-. 1681.—. 1682.-. 1683. v ; .
4 2 J 6 6 3 4
4 32тга3 8тга3 1684. -тга26. 1685. -. 1686. 19, 2тг. 1687. -. 1688. V =
3 105 3
128тг , „ 112 670 = -. 1689. 5тг2а3. 1690. 72тг. 1691. -. 1693. 6а. 1694. -.
3 27 27
1695. 8а. 1696. Точки пересечения с осями при = 0 и t2 = л/8,
^8
s
лД4+ 1 -t3dt = у. 1697. л/6 + In (л/2 + л/3). 1698. 2а sh 1
12/5 13/5
„ or ( VTTx2 , ,99 f t2dt
Pi 2, 35а. 1699.S= / -dx; полагаем 1+ж = t ; s
t+ ^In
3/4 5/4
1 t- II2'6
1, 35 + In 2 Pi 2, 043. 1700. Точки пересечения с
2 I + 1Jl,25
ТГ
осями при Xi = OnX2 = —;
о
7Г/3 7Г/3 7Г/3
/dx f cos ж йж /* d(sin х) , , /-, -= / -5—= / 1 1 . 2 =1п 2 + л/З Pi 1,31. COS ж 7 COS ж Jl- SlIl ж
0 0 о
1701. 1) 4л/3; 2) 0, 5 In (2 ch 2) Pi 1,009. 1702. 1) 8а; 2) тгал/1 + 4тг2 + + ^1п(2тг + л/1 + 4тг2). 1703.-3-^. 1705. у. 1706.1пЗ. 1707.21пЗ-1.
147Г
1708. р[л/2 +In(I+ л/2)] Pi 2,29р. 1709. 4л/3. 1711.—. 1712. тга2 х
/ 4тг \ 64
x(sh2+2). 1713. 2тг 1 + —= . 1714. 2тг[л/2+1п (1 + л/2)]. 1715.-х
V Зл/3/ з
, , 34л/Ї7 - 2 62тг
хтга2. 1716. Зтг. 1717. 4тг2а6. 1718. —--тг. 1719. -.
9 3
1720. 2,4тга2. 1721. 29,6тг. 1722. 1,44 • 106H; на нижнюю половину
ah2 2
сила давления 1,08 • 106H. 1723. -. 1724. -В3. 1725. 2,4 • 106H.
6 3
298
Ответы
1726. Jx
1729. Mx = М-,
ab" а"
~з~' у = 1
1727. Jx
ab3 а3Ь
-, J11 = -. 1728. 6,4.
12 ' у 12
1730. Мг
у dx = 0, 1а&2
а
у — ~~ j хс — Ус —
а
1 /* аб 3
My = I ху dx = -^ba2; S = / у dx = —; хс = -а, ус = 0, 36. 1731. хс
О, Ус
2f(y/2)ydx
о_
О, 5-а2
— а Pd -а. Зтг 9
1732. 1) 1,12 • 104тгДж;
R+h
2) 2,5 • 1037гД4Дж. 1733.
mgR2 , mgRh 1000тгД2Я2 --— dx = —-—. 1734.---
R+h '
н
Pd 210Дж. 1735. 12410Дж. 1736. О, 24тгДж. 1737. t
S dx
О, 6s\/2gx
100 с. 1738 Л
R2
H+h
0,6r2H2V2g
J хл/xdx, где h Pd 2 — высота допол-
ah2 1
нительного конуса. Вычислив, получим t Pd 42 с. 1739. -. 1740. 17-.
3 5
1741. --=. 1742. 2,4 • 104H на каждую стенку. 1743. Ix = \ y2xdy. v2
тг/2
j4 sin2 t cos2 t dt
тга
1744. хс = 0, ус
н
1745.
ttR2 ¦ 1000 Я2
Я - ж)2ж dx Pd ЗООтг Дж. 1746.
PoV0
7-1
У2
J 0
dx
0
dx
0
7-1
[V1)
-1
Pd 15 980Дж. 1747. *
14-Я2 /Я 400-
15-5-0,8 1/2(/ 3
OO
dx 1
интегралы 2) и 3) расходятся; 4) У
х" п — 1
Pd 419с. 1748. 1) 1; при п > 1; расхо-
дится при п. ^ 1. 1749. 1) 1; 2) 1/2; 3) тг/4; 4) 1; 5) In 2; 6) 16.
, 7г , 7г ІП 2 , 7г — 2
1750. 1) -5 2) - + —; 3)
6
8
1751. 1) 6^2; 2) расходится; 3) 6.
Ответы
299
f dx 1 1 f dx
1752. 1) / сходится, ибо < -—77;, а / —— сходится
У л/1 + X3 л/1 + ж3 ж3/2' У ж3/2
О 1
оо
I ^X 11
(см. задачу 1748); 2) / = расходится, ибо г > —, а
У л/ж3 — 1 л/ж3 — 1 ж
2
OO OO
dx [ е~х dx е~х
— расходится; 3) / - сходится, ибо - при ж J> 1, а
2 О
OO OO
// віпжііж е аж сходится (см. задачу 1749); 4) /--— абсолютно сходится,
і і
OO OO
I sin ж I 1 f dx f X dx
ибо--— < —, а / —- сходится (см. задачу 1748); 5) /
ж2 ж2 У ж2 У
л/ж4 + 1
1 2
оо
расходится, ибо , : > = при ж > 1, а / -= расходится;
л/ж4 + 1 л/ж4 + ж4 У жл/2
2
OO 1 OO
/2/2/2 2
е_:с dx = е~х dx + е~х dx сходится, ибо е~х <J е~х при
0 0 1
