Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
петлю, пройдя через (0; 0) и (0; —1). 1986. 1) у = ±(ж — a)\j^ ~' КРИ~
вая расположена там, где ж и 2а — х имеют одинаковые знаки, т. е. при
0 <с X <с 2а. Точка (а; 0) особая — узел с наклоном касательных к = ±1.
Асимптота х = 2а (рис. 84). 2) у = ± -; область расположения
V ж2 — а2
|ж| > а и |2/| > а с изолированной точкой (0; 0). Асимптоты ж = ±а и 2/ = ±а. Между каждой парой этих асимптот точек кривой, кроме особой, нет, ибо |ж| > а и \у\ > а. Кривая состоит из четырех симметричных ветвей, приближающихся к асимптотам ж = ±а и у = ±а. 1987. 1) у = 1а — х
= ± її/-; область расположения —а < ж <с а. Точки пересечения с
V ж + а
осью Ож: 2/ = 0, х\ = 0, X2 = а. Особая точка (0; 0) — узел. Асимптота ж = —а. Кривая — строфоида и получается перегибанием рис. 84 по оси Oy и смещением затем оси Oy влево на а. 2) Области расположения: ж J> а; ж < —а и ж = 0. Точка (0; 0) изолированная. Асимптоты ж = —а,
а(л/5 + 1)
2/ = а — жи2/ = ж — а. При ж =---- Pi —1,Ьа уэ Pi ±3,3а.
1988. 1) у = -ж2/4; 2) 2/ = ±2ж. 1989. 1) у = ±R; 2) у = 0 и у = -ж.
1990. 1) 2/=1; 2) 2/=1 — геометрическое место точек возврата, но не огибающая; 3) у = 1 — и геометрическое место точек возврата и огибающая; 4) у = X — 4/3 — огибающая, у = ж — геометрическое место точек
ж3
возврата. 1991. ж2/3+2/2/3 = а2/3. 1992. у2 =---. 1993. (х2+у2)2 =
2
ух
= Aa2ху. 1994. Семейство траекторий у = ж tg а — ——--—. Их
262 cos а
Ь2 дх2 „ „
огибающая (парабола «безопасности») у =---—. 1995. 1) ж + у =
2д 2Ь2
= J92; 2) у2 = Ах; 3) у = 1. 1996. у2 = 4(ж + 1). 1997. ж2/3 + 2/2/3 = = I2I3. 1998. у = -4ж2/3. 1999. 2ж + Ay - z = 3. 2000. ху0 + ух0 =
-з оппо хх° і УУ° zz°
а2 Ь2 с2 ж — 3 у — A z — 5
2zz0. 2001. Xy0Z0 + yx0z0 + zxoyo = За3. 2002. —2~ + "о---T =
2003. ж + 2/ - z = ±9. 2004. - =-- = -; в точке (0; 0; 0).
Ответы
311
2005. cosa
¦ cos ?
cos 7
TT
2006. у
0, ж + z + 1
0;
поверхность изображена на рис. 45, с. 303. 2009. Касательная плос-
7га 7га
кость ж — г/ + 2z = —. Ее расстояние от начала равно —¦=. Гели-
У 2 1 1 2V6
коид — поверхность «линейчатая». Прямые линии получаются в сече-
тт жа жа
ниях z = п. При z = 0 у = 0, при z = — у = х, при z
cos ?
- 0, при z
0, X + у - z 2
37га
cos 7
2012
1
3
-ж, при z ж - 4
4 " ' ґ 2
тга г/ = 0 (рис. 58). 2010. z = Ї/-3
4 3
2014. Плоскость z + у — х
z 2
—. 2013. cosa = -; 5 3
а
а'р = 71 •
2016. 1) z = 4; 2) 2x + 2y + z = 6. 2017. gradz = -2xi-2yj = -2(i + 2j). -i+j
2018. 1) gradz i + j
2ж
2ж
2019. grad/г
2) grad z ж .
2j.
2020. tgcp = |gradz| = = Pd 0,79. 2021.
du
/ 4жг/ rfw _ V2 rf7 ~ ~2~'
2022. — = 2 + 72; grad и = 2i + 2j ш
2k, |gradw| = 2V3. 2023. grad«
6
± 4i.
2024.
л/а2 + b2 + c2' 2025. grad z = 0, 32І-0, 64j, |gradz| =
du yz + xz + ж ?/
0,32V5.2026.
Геликоид у = X tg § Рис. 58
V3
—2027. grad« = 2(жі
7з
xi + yj + zk
-, |gradw| =
yj - zk), |gradw| = 2z72. 2028. grad«
3
1 в любой точке.
2029.
и
л/а2 + b2 + с2 ' = 12 при ж =
2030. zmm = -1 при ж = -4, ?/ = 1. 2031. zmax
1
= г/ = 4. 2032. zm;n = 0 при ж = 1, у = — —. 2033. Нет экстре-
мума. 2034. г-
X = у = — У 3
ж = г/ = -2 и zmm
при ж
-2, У
зТз
при
0. 2035. zmax
2036. zm;n = 2 при X = у = 1. 2037. zmax = —4 при 4 при ж = у = 2. 2038. х = у= \/2V, z = 0, oTW.
2039. (8/5; 3/5), (—8/5; —3/5). 2040. Нужно найти минимум функции
312
Ответы
z = d2 = X2 + (у — 2)2 при условии х2 — у2 — 4 = 0. Искомая точка (±75; 1)- 2041. R = 1, H = 2. 2042. 1) Вершины (±3; -1) и (0; 2); 2) луч должен пройти так, чтобы sin а : sin ? = v\ : V2, как это и происходит в природе. 2043. zm;n = 9 при х = 0 и у = 3. 2044. zm;n = 0 при X = у = 2. 2045. zm;n = 0 при х = 0 и г/ = 0. 2046. zm;n = 0 при ж = 2,
у = 4. 2047. zmax = 1 при ж = у = ±1, zmm = -1 при х = -у = ±1.
ж — 1/-)-4
2048. У = 8. 2049. 1) Нужно найти минимум d = --=- или мини-
V2
мум Z = X- у + 4 при условии 4ж — у2 = 0; искомая точка (1; 2); 2) 2а6.
Г7Г~ ж3
2050. R = . /—-=. 2051. Уравнения интегральных кривых: 1) у = —;
V 7tV3 з
ж3
2) у = ж3; 3) у = - — . 2053. ху' = Чу. 2054. 1) у2 - ж2 = 2хуу'; 2) ж2 + у = ху'. 2057. у = Cx, у = -2ж. 2058. ху = С, ху = -8. 2059. ж2 + у2 = С2, X2 + у2 = 20. 2060. у = Сех, у = Аех+2. 2061. у = = Се11х. 2062. х + у = 1пС(ж + 1)(г/+1). 2063.t = Ce1Z^-Fa. 2064. s2 =
t2-l + Ct „г- г- , С*вт2ж-1 =---. 2065. у = СеУх, у = eV^-2. 2066. у = -;
2 1 11
у = 2 sin ж--. 2067.--1— = С; у = —ж. 2068. Общие интегралы:
2 X у
1) у = С(х2 — 4); 2) у = С cos ж. Все интегральные кривые первого уравнения пересекают ось Ox при ж = ±2, а второго — при ж = (2n "I)-T/
(особые точки). 2069. у = —. 2070. / у dx = а \ \/1 + у'2 dx, откуда
3
о о
у2
у = а\/1 + у'2, у' = ±у—- — 1; положим г/ = ach и, тогда a sh и х
V а1
x и' = ±shw. Отсюда: 1) sh и = 0, ch и = 1, у = а; 2) а du = +dx,
X + С
au = ±(ж + С), у = a ch и = a ch-; при ж = 0 у = а ж С = 0. Итак,
или у = a ch--цепная линия, или у = а — прямая. 2071. у2 = ах.
