Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
а
2072. у2 = 4(ж + 2). 2073. За 40 мин. Решение. Пусть через t секунд
dT
температура тела будет Т; —^- = —к(Т — 2O0C), где к — пока неизвестный коэффициент пропорциональности; In(T- 2O0C) = —kt + С; при
800 С
t = 0 T = 1000C, поэтому С = In800C, kt = In-———; подставив
1 — Z[J
сюда Ti = 250C и T2 = 6O0C и разделив почленно, исключим неизвест-kt In 16
ное к:-- =--, t = 40 мин. 2074. У X1 = -Н + Tcos а = 0,
к-10 In 2
Ответы
313
v-v it- n + dy рх р 2
2^*8 = -Рж + J sin а = U, откуда tg a = -—-, J/ = TTTy
(парабола). 2075. Уравнение касательной Y — у = у'(X — х). Положив Y = O, найдем абсциссу точки А пересечения касательной с осью
у у Ox: Xa = х — —. По условию Xa = 2х, х =--; решив это диффе-
У У
ренциальное уравнение, найдем искомую кривую ху = —а2 (гипербола).
2076. X2 + 2у2 = С2. 2077. у2 - х2 = С. 2078. 2ж2 + Зу2 = За2.
Cx2
2079. у = Cx4. 2080. у = Се~х1х . 2081. 2у =--— - 1. 2082. у =
(1 + X)2
С — х
= С(х + л/х2 + а2). 2083.J/= -—. 2084. г = С cos ю, г = -2 cos ю.
1 + Cx
Сл/1 + X2
2085. у/у = жіпж - X + С, у/у = xlnx - х + 1. 2086. у
X + \/1 + X2 '
у/\ л. х'і 2х
у = . 2087- ХУ = -!• 2088- У = аеХ/а- 2089- У = -•
X + V1 + X2 _ 1 - X
2090. х2у = С. 2091. Радиус-вектор OM = \/х2 + у2, отрезок нормали MN = - = у\/1 + tg2 а = у\/1 + у'2. Искомая кривая или
cos а
X2+ у2 = С2 (окружность), или X2 — у2 = С (гипербола). 2092. у = Cx2.
С
2093. у - X = Сех1(у~х\ 2094. х2 - у2 = Cx. 2095. s2 = 2t2 In —.
о „ С — е~х С — cos2i 2096. у = Cx3 - X2. 2097. у = ———. 2098. у = —-.
2х2 2 cos ж
1 ех'
2099. у=———. 2100. у2 = —-. 2101. sin- + In х = С. 2102. у =
X m С X 2х + С X
= -ргА-• 2103. у = In ж + —. 2104. у3 = 1 + 1. 2105. у =
С — ш X X LX X
ж2 — 1 1 1
= -. 2106. s = Ct2 + -, S = 2t2 + -. 2107. у = хеСх, у = хе~х12.
2 t t
kt kL
2108. (х-у)2 = Су. 2109. х2 + у2 = 2Cy. 2110. і = — + — (e-RtlL - 1).
RR
2111. Положив X = Ob уравнении касательной Y — у = у (X — ж),
найдем Yo = —ON = у — ху', ON = ху' — у = OM = \/х2 + у2. X2 - С2
Отсюда у = ————. Зеркало должно быть параболоидом вращения.
LK_J
„ „ , In С(х + V'а2 + ж2) „
2112. у2 = Схє~уіх. 2113. у = -v -'-. 2114. При ж > 0
л/ а2 + ж2
~У і С ^ (\ [У } п ->ллк X-I1 С
In—, при ж < 0 л — = тСх. 2115. у
X X ' \J X 3 л/2х + 1
In Ctg (ж/2) о., „ „
2И6.г/=1 + -BV 7 ;. 2117. s = t3(lnt - 1) + Ct2. 2118. г/2 =
314
Ответы
1 2ж
2119. у = 2 (sin ж - 1) + Ce~smx. 2120. у = -—-, у
1 + Ce-2' у ' ' У I-Cx2'
2х 1
2121. у3 = х+Се~х, у3 = х-2е1~х. 2122. у
In Cx
2123. (ж - а)2 + у2 = а2. 2124. у = -. 2125. у2 = х(Су - 1).
4 2 Х
2126. ху = У— + С. IYIl. - +У— = С. 2128. у = cos х +
4 у 2 sm ж
t Ct-I
2129. s = —--—. 2130. х2у2 + 21пж = С. 2131. s = -^—.
С+ t-tint t2
С X
2132. у = X2 + Cx. 2133. siny = х -\--. 2134. у = -т-.
У У ж У С + 2е~х12
2135. 4ж2 + у2 = Cx. 2136. ж3е^ - у = С. 2137. у + хе~у = С.
1 V
2138. ж2 cos2 у + у2 = С. 2139. ц = —; ж+ - = С. 2140. In ц = In cos у;
ж2 sin у + 0,5 cos 2у = С. 2141. /л = е~2х; у2 = (С - 2х)е2х. 2142./..= 1 ж
= --;---ух3 = С. 2143. ж3+2жу-3у = С. 2144. х3у-2х2у2+Зу4 =
sm у sm у
ж2 cos 2і/ 1 1
= С. 2145.-і + ж = С. 2146. р = -; жу-lny = 0. 2147.//=—;
2 у ж4
у2 = Сж3 + ж2. 2148./л = е~у; е~у cosx = С + х. 2149. In /л = - In ж, /л = = —; жвіпу + уіпж = С. 2150. у = (С±ж)2. Через точку M(I; 4) проходят кривые у = (1 + ж)2 и у = (3 —ж)2. 2151. у = sin (С ± ж). Через точку
/ тг л/2~\ . / тг\ . /Зтг Ml—; —^- I проходят кривые у = sm ж — — j и у = sm I —--ж
2152. у = Сж2 + —; особые интегралы у = ±2ж. 2153. 1) у = ж + С
и ж2 + у2 = С2; 2) ж (^Jl + - ± l) = С или (у - С)2 = 4Сж. Особые интегралы ж = 0 и у = —ж. Область расположения парабол: при ж > 0 у —ж, при ж < 0 у < —ж. Параболы касаются оси Oy и
. (ж-с*)2
прямой у = —ж. 2154. 1) у = 1-І--; особый интеграл у = 1;
1 2 ,_
2) х = 2р---, у = р2 - - + С. 2155. 1) у = (С + л/х~+~\~)2; осо-
р2 р
бый интеграл у = 0; 2) ж = Ct2 - 2t3, у = 2Ct - 3t2, где t = -;
3) Cy = (ж — С)2; особые интегралы у = 0 и у = —4ж. 2156. 1) у = = Сж — С2; особый интеграл у = —; 2) у = Сж — ал/1 + С2; особый
интеграл ж2 + у2 = а2; 3) у = Сж + ^ ; особый интеграл у = 1, 5ж2/3.
Ответы
315
, (х + С)2 „ / 3\ , ж2
2157. г/ = 1----; через M II; — J пройдут две кривые: у = 1 ——
ж2 3
VLy = X-—. 2158. 1) ж = 2р+-р2 + С, у = р2+р3; 2) ж2 + (г/+С)2 = а2.
2159. г/ = -— + Сж + С2; у = -у. 2160. 1) у = Cx + —; особый инте-
(ж+1)2
грал у2 = Ах; 2) у = С(х + 1) + С2; J/
2161. Отрезки каса-У
тельной Y — у = у'(X — ж) на осях координат: Xa = ж--, Уд = у — ху'.
У'
Na ' Yb
По условию--- = 2а2; (у — ху')2 = —Аа2у', у = ху' + \/—4а2у' —
уравнение Клеро. Любая прямая семейства у = —Cx + 2ал/С, а также кривая, определяемая особым интегралом ху = а2, дает решение задачи. 2162. Парабола (у - ж - а)2 = Аах. 2163. 1) у = 31пж + 2ж2 - 6ж + 6; 2) у = 1 — cos 2ж; 3) у = Ciж + ж arctg ж — In л/1 + ж2 + C2. 2164. г/ = + Сі1пж + С2. 2165. у2 = -Сіж + C2. 2166. г/ = Ci віпж - ж -
