Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ox: X=— + ктг. Экстремум: при жі = ——Y 2ктт — минимум, при 7тг
Х'2 = ——Y 2kir — максимум. Кривая — график затухающих колебаний; она вписана в кривые у = +ае~х, на которых и находятся точки экстремума. Построение нужно начать с кривых у = +ае~х. Ось Ox — асимптота. 2) При ж = —1 ymax = 2, при ж = 0 — точка перегиба, при ж = 1 2/Wn = —2; при у = 0 х\ = 0, x2t3 & ±1,3. 1215. При ж = 1 2/m;n = 3, при ж = 2 у = оо (разрыв), при ж = 4 2/перег = 0, при ж = 0 у Pd 3,6. 1216. При ж = -2 2/min = 0, при ж = -4 2/max = 0,8, при ж = 1 2/max ^ 2,8; ось Ox — асимптота. 1217. При ж = ±1 2/max = 1; при у = 0 ж = ±1/л/2 Pd ±0, 7. Асимптоты — оси Ож и Oy. 1218. При ж = 0 2/max = 1, при ж = 1 2/min = 0; при у = 0 ж = ±1. 1219. При ж = — 1 2/min = 1/3, при ж = 1 2/max = 3, при ж = 0 у = 1; асимптота 2/= 1. 1220. При ж = —1 2/max = 1; при 2/ = 0 жі = 0, X2 = —4; область расположения кривой ж <J 0. 1221. 1) При ж = —2 у = оо (разрыв), при ж = —3 2/перег = 0, при ж = 0 2/min ^ 27/4; асимптоты ж = —2 и 2/ = ж + 5; 2) 2/mm = 0 при ж = 2п7г, 2/max = \Ґ2 при ж = (2га + 1)-. В точках минимума у' не существует (угловые точки). 1222. ЗОмхбОм. 1223. 5 и 5. 1224.-/1/4. 1225. а/6. 1226. 4мх4мх2м. 1227.20см.
18 1
1228. 60°. 1229. - Pd 2,5. 1230. cos а = — (однако при усло-
7г + 4 га
Ia
вин, что — < -, где a — проекция AB на направление железной
га AB
Ответы
285
дороги). 1231. В 18м от более сильного источника света. 1232. Через а
— часов наименьшее расстояние будет равно а/2 км. 1233. х = D 2,
2v
у = D\/3/2. 1234. В лД> к, 1,7 раза. 1235. / Pd 5,6м; определяется
2,4 1,6 128тг „
как максимум функции / = —--1--. 1236. i>max = —-—дм при
sin a cos а 9
R
высоте X = 2дм. 1237. б'тах = R2 при высоте X = —j=. 1238. (1; 1).
v2
1239. л/а~Ь. 1240. При х = 2 м. 1241. 4см и лД Pd 1, 7см. 1242. ж =1,5.
1243. Сечение — квадрат со стороной D/у/2. 1244. При а = 2тг\/2/3
иР
радианов Pd 294°. 1245. F = ---:-; tg а = р = 0, 25, а Pd 14°.
cos а + ц sin а
1246. 1) у = X2, у" = 2 > 0, кривая всюду выпукла «вниз»; 2) у = х3, у" = Qx, кривая выпукла «вниз» при х > 0 и «вверх» при х < 0, X = 0 — точка перегиба; 3) у = ех, у" = ех > 0, кривая всюду выпукла «вниз», (0; 1) — точка пересечения с Оу; 4) у = Inх (х > 0), у" =--- < 0, кривая всюду выпукла «вверх», (1; 0) — точка пере-
X2
сечения с Ох; 5) (0; 0) — точка перегиба. 1247. Точки перегиба кривых: 1) (2; -8/3); 2) (±1/лД; е"1/2); 3) (±V3; ±лД/2) и (0; 0); 4) при In 2
X =--— Pd —0,35. 1252. Область расположения х > —2. Точки пересечения с осями (—1; 0) и (0; In2). у всюду взрастает, кривая выпукла «вверх». Асимптота х = —2. 1253. у > 0, у = 0 — асимптота. 1254. 1) Симметрична относительно Ох. Область расположения х ^> 0. Верхняя ветвь выпукла «вниз», нижняя — «вверх». Обе ветви касаются Ox в точке (0; 0). Кривая называется «полукубической параболой» (вместе с осью Oy образует букву К); 2) такая же, как предыдущая кривая, но сдвинута влево на 3 единицы. 1255. 1) При х = 0 j/max = — 1, асимптоты X = —2, X = 2 и у = 0 (три ветви); 2) при х = 1 j/max = 2, при X = —1 j/m;n = —2, пересекается с Ox при х = ±-\/3, перегиб при X = ±л/2, асимптоты — оси Ox и Оу. 1256. 1) Область расположения X > 0, при у = 0 X = 1, асимптоты — оси Ox и Oy, при х = е ymax = 1; 2) при х=1 ymax = 1, при х = 2 уперег = 2/е Pd 2/3, ось Ox — асимптота, при х = 0 у = 0. 1257. 1) При х = 0 j/m;n = 2, асимптоты X = —2 и х — у = 0; 2) симметрична относительно Оу, при у = 0 X = ±л/2/2 Pd ±0,7, при X = ±1 j/m;n = —1, асимптота —ось Оу. 1258. 1) Область расположения х > 0, при х = 1 j/m;n = !,выпукла «вниз»; асимптота — ось Оу; 2) Oy — ось симметрии, при х = 0
286
Ответы
ymm = а, всюду выпукла «вниз»; кривая называется цепной линией. 1259. 1) При ж = О j/max = О, при X = JA Pd 1,6 j/min Pd 2,1, при X = — л/2 Pd —1,3 г/перег Pd —0,8, асимптоты х = 1 и г/ = ж; 2) при
ж = —1 j/m;n = —3, при у = О X = — л/0, 25 Pd —0,6, асимптоты —
оси Ож и Ог/. 1260. 1) Симметрична относительно Ож и Ог/, область
расположения |ж| < л/2, при ж = ±1 уэ = ±1, при г/ = 0 ж = 0
2
или ж = ±л/2; 2) на ветви у = ж H--== j/m;n = 3 при ж = 1, ветвь
л/ ж
2
у = X--— пересекает Ож при ж = JA Pd 1,6, обе ветви имеют асимп-
Jx
тоты у = X и ж = 0. 1261. При ж = —2 j/m;n = — л/Тб Pd —2,52, при ж = 2 Ушах Pd 2,52 (обе точки возврата), ось Ож — асимптота,
8ж
Ибо У =--—-TT^-—г-—гут-;-—Г7Т7 —7> 0, КОГДЭ Ж —У ±00.
У (ж + 2)4/3+ (ж2 -4)2/3+ (ж -2)4/з 1262. Симметрична относительно Ож, область расположения ж J> 0, асимптота — ось Ож ( Hm у = 0), при ж = 1 экстремум уэ = ±1/е Pd ±0,3.
1264. 1) + ж2 + In |ж| + О; 2) 2ж5 - Дг + С. 1265. 1) + С;
О X X
ж2 1 /2 3 Л
2) — + 2In И - Tj^ + С- 1266- 1) ж ( з^±-V) + С; 2) 2л/ж~ -
- 4лУ^+С*. 1267. 1) ^^-Зж + 6л/ж~-т|ж| + С*; 2) -(х-A)Jx+ С.
3 4
1 ах 2
1268.1) 6^ + -+C; 2)----7=+С 1269.1) -ctg ж-tg ж+С; 2) -ctgx-
ж та л/ж
„ , f dx f sin ж + cos2 ж , -ж + О. 1270. 1) / —--— = / ——,-т.-dx = tg ж - ctg ж+
