Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ответы
279
= ^3^(-1)"-2 = ^zA-1)"• 1042- /» = -2^2 = -2ж/(ж). Далее по формуле Лейбница (ж) = Г—2ж/(ж)1 ''ит.д. 1044.1)--;
г/
, p , Ь2х . 2х + у . 2х — у . Гу е~х + у
2) '-; 3) -^-. 1045. 1)--р^-; 2) -1046. 1) -? ^ 2
у ' а2у ' х + 2у' ' х-2у ' \J х' j еу + х '
еж sin и + е~у sin ж 1 , а2 1047.--—-. 1048. -г + 1. 1049. 1/3. 1050. 1 ---;
ех cos у + е у cos ж у2 yd
, 2(и — a) , rafra + гг)и 6
2 / ші 3 2 2- 1051- —г • 1052- г/ = з- жиг/ = ж-1.
(ж — by п^х^ сг
1053. (40/9; 40/9) и (40; 40). 1054. 1) ^ + ^ = 1; 2) уу0 =
= р(х + X0). 1055. ж + у = ±4=- 1056. arctg 3. 1057. 1) -^-;
л/2 а2 г/
, ж2 - ay , a2 , R2 N 2(1 + у2) N 6а2
2 -2- 1058-1 —;2 -7—;3 - 1 5 ;4 -, ^3-
аж - г/2 г/-5 (г/ - ?f уь (ж + 2г/)3
1059. 2у = -ж-Зи2г/ = ж+1. 1060. ж + 2у = 4 л/2. 1061. 1 - -.
е
1062. е(е - 1). 1063. ±2. 1064. 1) dy = rix"'1 dx; 2) dy = 3(ж - l)2 dx.
1065. 1) dy = ; 2) ds = gtdt. 1066. 1) dr = 4sin2 ip dip; 2) dx =
л/1 + ж2
2 dt , . , . , , a3 dx . (a + l) da =--—. 1067.1) sin 2t dt; 2 sm и du. 1068.1 ———-—; 2 v ;-;
t3 ; ' ' x2(a2 + x2) ' а
1 LD dx
3) "TT sin j- dp; 4)-- 1070. 1) 0,04; 2) 0,05. 1071. 1) dV =
2 2 жл/ж2 — 1
= Зж2аж = 0,75; ^ = 0,006 или 0,6%; 2) d = ^-^. 1072. 1) dx <
Xй of
0 1-2
<c ——-= < 0,005; 2) радиус нужно измерить с погрешностью не более
ОЖл/ ж
\%. 1073. 1) S = ttR2, AS ъ dS = 2TrRdR; 2) V = ^тгД3, AV к
О О
MdV = AttR2 dR. 1074. 1) ^-f-; 2) 6 sin (a - bp) dp; 3)__
X л/1 —
du dx
1075. 1) - tg ж dx; 2) -. ; 3) -2e"2t dt. 1076. 1) —-=; 2) tg2 a da;
2ил/4и - 1 2л/ж
3) 6(1 + e~bt) dt. 1077. 1) Ay = Зж2Аж + ЗжАж2 + Аж3 = -0, 2376,
14 ж2 • 0 1
dy = 3x2dx = -0,24; 2) dl =--w 4,46см; 3) \dx\ ^ --J— ^ 0,006.
it 4
1078. 1) Ay2 = ж3; 2) у2 = ж (Х- - lY. 1079. l) ^ + ? = 1; 2) ж2/з +
V3 / cr 6^
+ у2/3 = а2/3. 1080. 1) ж2 - у2 = 1; 2) у = —1082. ж = Q ,
У ; У ' ' У 1 + ж2 l+t3'
280
Ответы
3at2 (4-7г)а а . 1
у =--. 1083. у = х + ±-'—. 1084. х + у=—=. 1085. V
I+*3' 2 • У У2' asm3*'
'! + !. 3)__L
4t3 ' ; 4а sin4 (t/2)'
2) ^TT-; 3) . 4/,,„ч. 1086. 1) j/ = -ж2 - 2ж; 2) (у + 2)
/37Г \ атг ,1
1087. х + у = а--h 2 . 1088. у = х---. 1089. 1 --=-;
У V 2 J У 2лД ' 4 sin3*'
. Ш2 - 1 . 3 gt2 dx d2x
2) -Jt^; 3) і?" 109°- * = at - ~Y; Tt = а - 9t; й-" = ~9; ЧЄРЄЗ
а а2 da; „
t = —, X = — (высшая точка). 1091. — = t — At + 3; t\ = 1, t2 = 3. 5 2# dt
йж di> dv dx
1095. у = —; — = w; перемножим почленно. 1096. 2v — = 2а— =
at at dt dt
dv ot2 dx
= 2av, откуда w = — = a. 1097. x = 10 + 20t - —; — = 20 - gt;
dt 2 dt
72
dz 20 „ „. d/i
, „ — -a. В наивысшей точке -— = 0; t = — Pd 2,04c. 1098. , — dt2 J dt ' g dt
a a dx , , , „
= —-— = —-. 1099. — = к(A - x). 1100. d(io \ = Iwduj,
irh(2R-h) irr2 dt y ' y '
d(oj2) doj doj dt 1
--- = LLu— = LLO---— = LLOS— = LS. 1101. КорНИ фуНКЦИИ 1; 3.
dip dip dt dip uj
Корень производной f'(x) = 2х — А равен 2; 1 < 2 < 3. 1102. Не применима, ибо при X = 0 нет производной. 1103. Потому, что точка х = О
9-1
угловая (две касательные). 1104. Наклон хорды (AB): к = - = 2;
3 + 1
f (х) = 2х = 2, X = 1; в точке х = 1 касательная параллельна хорде. 1105. /(6) = 62, f(a) = a2, Г (с) = 2с; подставим это в формулу Ла-
7 9 9 /7 Ь + а 9
гранжа Ь — а = (о — а) ¦ 2с; откуда с = —-—. 1106. с = —. 1108. На
7Г
дуге есть угловая точка при х = —, в которой функция не имеет производной. 1109. Функция непрерывна и имеет производную внутри отрезка [0; 2], но разрывна на его правом конце. 1110. Пусть s = f(t) — уравнение движения, а t\ и t2 — начальный и конечный моменты движения. По теореме Лагранжа между t\ и t2 найдется t3, при котором
f(t2) - f(ti) ,,, , ,,, , ds
—:-:-= f (h), т. е. 40 = f'(t3) = -тт в момент t3.
Z2 — Ii , , at
1 f(x) 0
1111. Ф'(х)
Так как Ф(6) = Ф(а) = 0 и в интервале
ь № і
a f(a) 1
(a, 6) имеется производная Ф'(х), по теореме Ролля между a и 6 найдется
Ответы
281
с, при котором Ф'(с) = О,
1 Г (с) о г. Ъ f(b) 1=0, откуда /(6) — a f(a) 1
— /(а) = (6 — а)/'(с). Функция Ф(ж) есть удвоенная площадь AAMB,
б3-а3 Зс2
где M — любая точка на дуге AB. 1112. —-- = ——, откуда с =
О — Oj LC
2(a2 + ab + b2) dy f'(t)
= ---—-. 1113. Угловой коэффициент касательной — = ——,
3(а + b) dx <р (t)
. , /'(с) v „ . . „ , 2/2 — 2/1
а в точке I = Ck= ——. Угловой коэффициент секущей к\ = - =
<р (с) X2 - Xl
№ - /(а) „ , „
= ——-——; по теореме йоши между а и о найдется г = с, при котором
VW - <р{а)
ki = к, т. е. касательная параллельна хорде. При этом так как <р'(t) ф 0,
