Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Минорский В.П. -> "Аналитическая геометрия на плоскости" -> 91

Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.

Минорский В.П. Аналитическая геометрия на плоскости — М.: МГТУ, 1997. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): analitgeometr1997.pdf
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 100 >> Следующая

д_ д_ du dv
^d2Z | 6 d2z du2 du dv
Z— і 4 &z du2 du dv
d2z d2z
----h 2--
du2 du dv
cPz_ dv2 '
d/z_
dv2 '
cPz_ dv2 '
d2z
d2z d2z __4__|_ 3_
dx2 dx dy dy2
du dv
1943. Записывая так же, как и в задаче 1942, получим 4
dv2
1945.
Uli
dx2
cPz_ dy2
,9^ du2
,d2z
2
У d2z y2 d2z 2y dz X2 du dv Xі dv2 Xs dv '
x__ | 2 d2z | 1 d2z
du2 du dv X2 dv2 '
1946,
2d2z
dx2
d2z
dx2 Hx2
(l-2j,)-
,9?
У
Ay1
dy2 O2z dy2
1948. 0; 0
1947.
d2z 2ydz du dv X dv
d2z _ 2 dx2 1 4
d2
Ax
- 2y' дх dy 28ж
X V2
dx dy, d3u
22/
9t2 V 2H3V
(I-2y)2' 1953. d2u = —
dy2 : dx2
dx3
x,J
— dx2 dy. 1954. 4a- - . .
X du Ov
1955.
ж-,,2
1959. и
и dv arctg z + C
Xа-
Y +
1963. и
X In у
ху
cos у + С. M 32/2
1962. и
- С
X Z
1964. и
du dv —1- In у
X
X sin 2у
+ у In cos х + у2
х(1 + лД2 X — Зу
- С. С.
M)
С. 1969. у
1965. и 1967. и
ху
X In у
sin2 J/
2/ ¦
С. 1966. и = х/хх
xcos2z + yz + С. 1968. и =
+x\fl + х; область расположения: 1 + х ^> 0;
-1. Особая точка
ім*т\ (рис-49)-
0, ж = 0 или ж
2/э
T
X J> — 1. Точки пересечения с Ож: г/ = 0(0; 0) — узел. Экстремум у при ж
1970. г/ = ±(ж + 2)х/х + 2; ж 5> —2 — область расположения. Особая точка: (—2; 0) — точка возврата. Точки пересечения с осями: при ж = 0 у = +2л/2; при у = 0 ж = —2 (рис. 50). 1971. у = +x\Jx — 1. Область
Ответы
307
расположения ж^1, ж = 0, j/ = 0 — особая изолированная точка. При
4 4
х = 1 у = 0, при X = 2 у = ±2. Точка перегиба: х = —, у = ±——
3 3v 3
(рис. 51). 1972. г/ = ±жл/1 — ж2; область расположения \х\ <С 1, или
у2= (je + 2)3
У
у2= X3+ X2
/ 1 \ / Jj^max
-А -2/3 у&
Рис. 49
Рис. 50
Рис. 51
-1 <С X <С 1. Точки пересечения с осями: при у = 0 жі = 0, ж2 = 1, «з = — 1. Особая точка 0(0; 0) — узел. Экстремумы при х = ±—7= Pd ±0, 7
уэ = ±\2 (рис. 52). 1973. у = X ±
^O
г/ =
точ] вог(
"72
У' / 1 n / 1 \ i 1 n. / У i \
-1\ -0,7 А \ 0,7 Il X
2 2 4 у = х- X4
Рис. 52
тремум имеет функция у = X — XxZx; при х = — j/max = — (рис. 53).
9 27
1974. у = ±(ж — 2)л/ж; область расположения ж J> 0; при у = 0 ж = 0 или
308
Ответы
ж = 2; особая точка (2; 0) — узел. Кривая имеет такой же вид, как и на рис. 52, но сдвинута вправо. 1975. у = ±(ж
2а)
X ¦

X
кривая
расположена в той области, где х и ж+ 2а имеют разные знаки, т. е. при —2а <С X < 0. Особая точка (—2а; 0) — точка возврата; х = 0 — асимптота. Кривая — циссоида, такая же, как на рис. 85, но смещенная на 2а
влево. 1976. у = ±
область расположения у <С х. Точки пере-
сечения с осями: при х = 0 у = 0 или у = —3. Особая точка (0; 0) — точка возврата. Найдем асимптоту вида у = кх + Ь. Разделим члены
уравнения на г: 1 Ъ = Hm (у — х) = Hm
У\2 1
0. Отсюда к
Hm —
1,
- . ~~ х^-со X2 + Xy + J/2
Экстремум функции Ж = <jC(j/) = у/у3
-1. Итак, асимптота г/ = ж — 1.
1,6;
Зг/2: при г/
при i = Ot/ = —3 — перегиб (рис. 54). 1977. ж3 + у3 — Заху =0 — декартов лист (см. задачу 366). Особая точка О(0; 0) — узел с касательными у = 0 и ж = 0. Найдем асимптоту у = кх + Ь. Приведем
уравнение к виду 1 -
¦ За
У\ 1
0; откуда к
Hm (—
X^-CO v X
-1,
.4)
Рис. 54 Ъ = Hm (г/ + ж) = Hm
Ъаху
. ~~ ж->оо — жг/ + г/2
ж2
тота (рис. 79). 1978. у = ±-
Рис. 55
—а. Итак, г/ = —ж — а — асимп-Симметрична относительно Ож
Ответы
309
и Oy. Область расположения \х\ > а и \у\ > \х\. 0(0; 0) — особая изолированная точка. При х = ±а\/2 экстремум у = ±2а. Асимптоты X = ±а иг/ = ±ж (рис. 55). 1979. у = ±хл/2 — х; область расположения X <С 2. Точки пересечения с осью Ох: при у = 0 Xi = О, X2 = 2.
4 . 4^2
Особая точка (0; 0) — узел. Экстремумы у: при х = - уэ
3
±
3V3
± 1,08. (Кривая имеет такую же форму, как на рис. 49.) 1980. у
= ± —\/а^ — (X — а)
<i X — a <i а, или 0 <i х <i 2а. При у = 0 Xi
область расположения \х — а\ <С а, или —a <С
0, х2 = 2а. Точка (0; 0) особая (точка возврата). При у' = 0, т. е. л/2ах — х2
2 х(а — х)
0, X
За
Уэ
^зуз
±——а
л/2ах — X2 5
±-а (рис. 56). 1981. у = ±(х + 2)y?.
2 ' * 4
Область расположения х ^> 0 и еще изолированная точка (—2; 0). Точка перегиба при X = 2/3. Кривая такая же, как на рис. 51, но смещена влево.
Рис. 56
1982. Две области расположения: 1) х > 0; 2) х < —а. Асимптоты: у = X + —, у = —х--— и X = 0. Точка возврата (—а; 0). Экстремумы
у при X
Уэ
±-
ЗуЗа
±2, 6а. 1983. г/ = ±—л/х + 5; область
2 і" 2
расположения ж ^ —5. Особая точка (0; 0) — точка самоприкосновения Экстремумы у: при х = -4 |г/|тах = 8, при х = 0 |г/|тт = 0 (рис. 57)
310
Ответы
1984. у = ±жл/х2 — 1. Области расположения |ж| J> 1 с изолированной точкой О(0; 0). График такой же, как и на рис. 51, с добавлением еще до симметрии кривой слева. 1985. При у = 0 х\ = 0 и X2 = —4; при х = О JZ1 = 0, ?/2 = — 1- Особая точка (0; 0) — узел с наклоном касательных к = ±2. При X = —8/3 2/max = 1, 8 и при X = 0 2/min = —1- Асимптота у = ж + 1. Кривая пересекает асимптоту при х = —0, 4 и затем описывает
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed