Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
оо 1
f _ f dx 1
ж > 1, а / е ^ йж сходится. 1753.1) / — = -при п < 1, расходится
У У ж" 1 — и
1 о
ь
, /* аж (6-а)1-"
при и > 1; 2) / —-— = - при п < 1, расходится при п > 1.
У (о — ж)" 1 — и
а
1754. тг. 1755.2. 1756. Зтга2. 1757. 2тг2а3. 1758. тг[л/2 + In (1 + л/2)].
Аж 11
1759. —. 1761. 1) -; 2) -; 3) 1; 4) расходится. 1762. 1) In(I + л/2); 3 2 3
2) 2; 3) 1 - -. 1763. -. 1764. 16тг. 1765. 2тг. 1766. 1) -; 2) ¦
4 2 7г 7г
3) -J^1; 4) а2+з& + &2; 5) 1768. 1) ?(Л) = 0; 2) |?(Л)| ^ ^ < 0,3.
кк 2 • Ю-4
1770. —тг Pi 28,8дм3. 1772. In2 = 0,6932; \s(h)\ ^ ——— < 0,001. O Io
1773. 8,16тг. 1777. Приближенно 1,22тг. 1778. R = 1779. R=T,-1780. В вершине (2; O) R1 = 1; в вершине (0; 1) Д2 = 4. 1781. Д =
= 4а. 1782. ymax = - при ж = 1; Д = е. 1783. (4; 4). 1784. (3; -2).
е
300
Ответы
1785. (0; 1). 1786. 27Х2 + 8Y3 = 0. 1787. (2X)2/3 + Y2/3 = З2/3. 1788.X2/3-Y2/3 = (2a)2/3. 1789. X = acost, Y = asin* или X2+Y2 =
= a2. 1790. к = ex(l + e2x)~3l2: kmax = —¦= в точке ж =--Pd
Зл/З 2
2 ._ а2 г3 1
Pd - 0,347. 1792. 1) R = -лДаг; 2) —; 3) -^. 1793. -. 1794. 2.
3 3r a2 2
1795. 1. 1796. 1. 1797. (-2; 3). 1798. (о; -^j. 1799. (-у! у
7г 3
1800. X = - - - Pd -0,7; Y = -л/2 Pd -1,4. 1801. 8Х3 - 27Y2 = 0.
9/ *2\ ( t2\
1802. X = —* [^~^~2j> Y = 4M ^ ~з~ /' для постРоения кривой и
эволюты составить таблицу значений х, у, X, Y для * = 0; ±1; ±3/2.
1803. (X±Y)2/3-(X-Y)2/3 = 4. 1804. (X + Y)2I3 + (X-Y)2I3 = 2a2/3;
лго 2/3 , 2/3 /л N2/3
при повороте осей на 45 это уравнение примет вид X1 +у/ = (2а) 1 , т. е. эволюта астроиды есть тоже астроида с увеличенными вдвое размерами и повернутая на 45°. 1806.21. 1807.51 1808.7,5. 1809. 2тг.
3 + In 2 dr
1810. 2sh 1 Pd 2,35. 1811. —^-. 1812. Зж + Ay = 0; — = Ai - 3j.
2 У ' dt J
4 dv dP'v
1813. у = -x--; — = Зі + 2(2 - t)\. 1814. w = — = -2j,
y 3 9 ' dt v 'J dt2 J' 41* — 21 6
wT = . , Wn = . ; при t = 0 wT = 1,6; л/4*2 - 16* ±25 л/4*2 - 16* ±25
9 9
ж i/
Wn = 1,2. 1815. — + — = 1; г; = —asin*i ± 6cos*j, w = —r. az bz
X — t у — t2 z —t3 X — x Y — x2 Z- л/ж
1816. - =-- = -—. 1817. - = - = ——+=-.
1 2* З*2 1 2ж 1/(2л/ж)
1818. = ^3- = Z-^. 1819. г = -і ± k, В = і ± k, N = -2j;
т = ~' "tk; /3 = ^-І=-> 17 = 1820- В = г x r = 6і - 6j ± 2к,
у 2 у 2
N = (г x г) x r = —22і — 16j ± 18к, уравнения главной нормали:
ж — 1 у — 1 z — 1 ж — 1 у — 1 z — 1 —— = —-— = -—; бинормали: —-— = -— = —-— и соприкасающейся плоскости: Зж — Sy +z=l. 1821. N = 3(i ± j), В = — і ± j ± 2k.
ж — Ij/—1
Уравнения главной нормали: ж = у, z = 0; бинормали: -— = —-— =
= —. 1822. Исключив *, получим ж2 ± у2 = z2 — уравнение конической поверхности, г = (cos* — *sin*)i ± (sin* ± *cos*)j ± k = і ± к; г = (—2sin* — *cos*)i ± (2cos* — *sin*)j = 2j; В = r x і- = 2i ± 2к, N = 4j. Касательная: ж = z и у = 0; главная нормаль: ось Oy; би-
Ответы
301
нормаль: ж + z -у = а. 1824. cos а
0 и у = 0.
1823. При г
7г ж
2
6тг/2
cos ? = ±
cos 7 = ±-
6
Va + Vl>' Va + ^' л/а+л/b'
выбор знака зависит от выбора направления на каждой ветви кривой.
1825. Уравнения винтовой линии: х = sin 22, у = 1 — cos 2t, z = 2t2,
где t — угол поворота (рис. 44). Единичный бинормальный вектор ?
тгі+j + '
в точке С (при t = тг/2): ?
V2-
1826. При t
Рис. 44
,. . X — 2 у — 2 z — 8 X — 1
= a(i+j), w = ai. 1827. —р- = -^— = —. 1828. —^- =
= ^I и z = 3. 1829. —- = - = I. 1830. 120°, 60°, 45°. -1 2 12 '
1831. N = -26І - 31j + 22k, В = 16І - 12j + 2k; = = 2-Д±,
2b 31 —22
^—I = =—^ = 1832. N = -4j - 4k, В = 2j - 2k. Уравнения
8—6 1
главной нормали: х = тг, z = у + 2; бинормали: ж = 7г, г/ + z = 6.
.1 k x iu I 2
1834. V = г = і + 1 - 2t j, w = г = -2j, - = J—g-L = —;
л г;0 г;0
42 — 2 V2 2
V = л/2-At+ At2; wT=v= = -лД, Wn = — = - = хД.
л/2-4t + 4t2 R V
1835. V = г = —4 sin її + 3cosii = -=—, w = г =--=—;
лД лД
1 12 і-—>-—- 7 sin 2t тг 5
— = —, у = V 16 sin t + 9 cos2 t, V = -; при t = — v = —
Rv3 2v 4 лД
302
Ответы
7
0,7-Д wn
12
V
ЪлД R
г = і + 2tj + 2*2к, w = 2j + 4*k; v 2 2
= = At = 4, wn =
_ 12^2 _ 5
= 2*2 + 1 2 2(2*2 ¦
(2*2 + I)2 9' T ' n R (2*2 + 1)2
точке). 1837. Сначала составим матрицу координат векторов
2,4^2. 1836. v =
1 |v x w|
' R = "Г3"
f D2
2 (в любой
3) rr г = 12; 4) 1
г * *2 *3
г 1 2* З*2
г 0 2 6*
г 0 0 6
г x г б*2 -6* 2
1) |г| = Vn -4*2- Ь9*4; 2) |г
1 2V9*4 + 9*2 + 1 2; 5)
R 7(1+4*2 + 9* 4^3
2л/9Їг 12
9*2
1838.
V2
R
У?
лД і
4 ' р
72
1839.
1
«правой» винтовой линии:
1 _ 2* _ 2 1 R ~ (2*2 + 1)2 - 9' ~р
4(9*4 ¦ л/2 1 3 ' р
9*2 1
1841.
а2 + Ь2 2*
R
на «левой» 2
