Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
284. ж2 + у2 - ах - by = 0. 285. 286. Основание AB = 2а, высота
0-D = —г=, площадь —^=. 287. За начало примем точку О, делящую AB V5 V5
264
Ответы
в отношении АО : OB = га, а за ось Ож — прямую OB; пусть OB = а, тогда координаты точек Am В будут: А(—та; 0), 5(а; 0). Уравнение искомой линии: (га— 1)ж2 + (га — 1)у2 = 2тах; при га ф 1 окружность: ж2 + 9 2гаа
2/ = -ж; при га = 1 прямая: ж = 0. 288. Точку О примем за начало,
га — 1
а 05 — за ось Ож. Уравнение искомой линии: (а — 6)(ж2 + у2) = 2abx;
при а ф о окружность: ж + у = --ж; при а = о прямая: ж = 0.
а — Ъ
289. 2(к2х2 + у2) = а2(к2 + 1); эллипс при к ф 1, окружность ж2 + г/2 = а2
ж2 -і- хОж у2 3
при & = 1. 290. —^--1-у = 0. 291. За2\Д. 292. arctg - w 36°52'.
293. (±а; ±а). 294. А(Уб; 0), 5(2; -2), С(-2лД; лД); SaABC =
= лД+лД+лД. 296.2^2; у = ж-2. 297. 2 +^¦ 298. (ж - 0 Vj/2 =
9ю2 |а&|
= —. 299. аж - by + а2 + Ь2 = 0; d = , ' ' . 300. Вычитая урав-
16 Va2 + б2
нения почленно, получим 4(г/ — ж) = (у + ж)(г/ — ж), отсюда: 1) г/ = ж;
2) ж + г/ = 4; следовательно, точки пересечения парабол лежат на прямой у = ж или на прямой ж + г/ = 4; найдем жі = 2, Ж2 = —6; длина хорды
(х - 2)2
8лД. 301. 30. 302. ж2 + у2 = а(х + у). 303. ^—-^- + у2 = 1 (эллипс с
ж2 _ 5Ж -I- 25
центром (2; 0)). 304. ху = 4. 305. у =--. 306. X2 - Y2 = 4;
(х — 2 Ь)2 у2
Oi(2; -3). 307. v 2 25 ;--4 = 1 (ГипеРбола с Центром (2,5; 0)).
308. Пусть М(х; у) — точка эллипса. Тогда FM + F1M = AF+ AF1 или у/(х - а)2 + (у- а)2 + у/(х + а)2 + (у + a)2 = 4а; Зж2 - 2ху + Зу2 = 8а2;
после поворота осей на 45°: X2 + 2Y2 = 4а2. 309. cos ip = —===== =
Vl + tg2 <р
2 1
= ——, sin tc = ——; новое уравнение X2 — Y2 = 4. 310. Зж2 + 8жг/ —
— Зу2 = 20; поворотом осей на угол ip = arctg (1/2) приводится к виду X2 - Y2 = 4 (см. 309). 311. у2 = 2рх + (е2 - 1)ж2. 313. 1) Пара прямых у = ±2ж; 2) точка (0; 0); 3) мнимая окружность; 4) точка (3; 4); 5) пара прямых ж = 0, у = —ж; 6) пара прямых у = ±4; 7) пара
ж X2 Y2
прямых у = ж и у = -. 314. 1) (1; -1), — + — = 1; 2) (2; 1),
X2 Y2
X2 - Y2 = 9; 3) 2Х2 + bXY + 2Y2 = 8. 315. 1) - + — = 1;
24 4
X2 Y2 X2 Y2 X2 Y2
2) — - — = 1. 316. 1) — + — = 1; 2) — - — = 1. 317. 1) Y2 =
;46 ;84 ';84 ;
= 2V^; 2) пара прямых ж — 2у = 3 ± 1. 318. 1) Зг/ = 2ж — 7 ± (ж — 2);
Ответы
265
2) точка (2; -1); 3) Ay = -2х - 3 ± 1. 319. AX2 - Y2 = 8; центр (2; 0); tgp = -1/2. 320. 5(ж - I)2 + {у - 2)2 = 9. 321. Повернув оси
X2 а
на —45°, получим Y = —-= H---=. Уравнение у/х + у/у = у/а опре-
ау/2 2у/2
деляет дугу AB этой параболы (рис. 87), на которой х <С а и у <С а. 322. (х - m)2 + (у - п)2 - e2(xcosa + ysina + q)2 = 0; А + С = 2 - е2; с5 = 1-е2. 323. 1) Пара прямых х + 2у = 0; 2) точка (—2; 2); 3) пара
X2 Y2 X2 Y2
прямых у = х, X + 6у = 0. 324. 1) — + — = 1; 2) — - — = 1.
325. 1) Y2 = Ал/2Х; 2) прямые х + у = 2 ± 1. 326. 1) у = х - 2 ± 1 2) Зу = X - 5 ± 2(ж + 1). 327. 1) 7х2 - 2ху + 7у2 - А8х - А8у + 144 = 0 2) X2 + Аху + у2 + 6ж + 6у - 18 = 0. 328. (х - у)2 - 2а(х + у) + а2 = 0
Y2 = алДХ. 329. X2 - Аху - у2 - Ax + 8у - 12 = 0; X2 - Y2 = 3, 2лД.
a . a sin а а sin (в — а) 335. Ir= -; 2 г = —-. 336. г = . /'-337. г =
coscp sm р sm(? — p)
= 2а cos р. 338. 1) rmax = 5 при р = 135°, 315°; rm;n = 1 при р = 45°, 225°; г = 3 при р = 0°, 90°, 180°, 270°; 2) rmax = 3 при р = 0°, 120°, 240°; rmm = 1 при р = 60°, 180°, 360°; 3) rmax = 2 при р = 90°, 210°, 330°; rmm = 0 при р = 30°, 150°, 270°. 339. 1) rmax = а при р = 30°, 150°, 270°; г = 0 при р = 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°; 2) г = а при р = 45°, 225°; г = -а при р = 135°, 315°; г = 0 при р = 0°, 90°,
а2
180°, 270° (см. с. 334, рис. 83). 340. 1) г2 = -; 2) г = а; 3) г =
cos 2р
P
=----; 4) tg р = 1; 5) г = a cos р; 6) г2 = а2 cos 2р. 341. 1) ж = а;
cos (ср — а)
2) ж2 + г/2 = 2ау; 3) жг/ = а2; 4) х + у = 2а; 5) (х2 + у2-ах)2 = а2(х2 + у2).
2 2 2 2
342. 1) — + — = 1; 2) — - — = 1; 3) у2 = 6ж. 343. г = —— ± Ъ.
1 25 9 ' ; 16 9 ' ! У sin р
all + sin р) „
344. г = 05 ± AB = - или в декартовых координатах у =
cos р
_ xi^x-аЦ ^ _ r2 + а2 _2racosipj P1M2 = r2 + a2 + 2racosp,
2a — X
FM2 ¦ FiM2 = (r2 + a2)2 — Ar2a2 cos2 p = b4, отсюда r4 — 2a2r2 cos 2p = = 64 — a4. 346. r = a(l + cos^c); (ж2 + у2 — ax)2 = а2(ж2 + у2). 347. Пусть С — центр неподвижного круга, С\ — центр смещенного круга и М(р; г) — текущая точка. Так как ZOCC\ = ZMCiC = р
и СО = CiM = -а, то OM \\СС\. Спроектировав ломаную COMCi
на CCi, получим — cos р + г + — cos р = а. Отсюда г = а(1 — cos р).
5 при р = 0°, 180°; rmm = 1 при р = 90°, 270°; 2) rmax = 4
266
Ответы
при if = 90°, 210°, 330°; rmm = 2 при f = 30°, 150°, 270°; 3) г = а при f = 0°, 180°; г = -а при <р = 90°, 270°; г = 0 при <р = 45°, 135°,
ab sin (/3 — а) . ж2 „
225°, 315°. 350. г = —--// . > --. 351. 1 — + у2 = 1;
а sm (f — а) + о sm (p — if) 4
ж2
2) — - г/2 = 1; 3) у2 = х. 352. г2 = 2c2cos2^>; (ж2 + у2)2 = 2с2(х2-у2).
