Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ж—а у—Ь Z-C
497. 1) —-— = —-— = —j—, что значит х = а, у = о; 2) z = с и
X — а у — Ь 1 11
- = -. 498. COSi)C = —=. 499. cos Lp = —. 501. Направляющий
га п л/3 26
_|_ 4 у _ 3 Z
вектор P = NxNi = i + 3j + 5k. Уравнения прямой: -= - = —.
1 3 5
502. Зж + 2у = 0, z = 4. 503. 0,3^38- 504. 4^2/3. 505. (4; 2; 0),
(3; 0; 2), (0; -6; 8). 506. ж = 6 - 3z, у = -2z + 4; = ^ =
следы: (6; 4; 0), (0; 0; 2). 507. | = = |. 508. Р{0; 1; 0}.
509. Р{1; 1; 2}; а = ? = arccos-^=. 510. у = -3, 2ж - z = 0.
ж г/ + 7 z — 5
511. Приведем уравнения к канонической форме: — = —-— = —-—
ж у — 4 z 20
и - = — = -; COs^ = — к, 0,952, <р = 17°48'. 512. Напи-2 3 6 21
ж — 2 г/ z — 1/3 сав уравнения данной прямой в виде —-— = — =---, получим
ж+1 у -2 z + 2 ч/„ , „ч
уравнение искомой прямой: —-— = —-— = —-—. 513. +(0; 1; 0),
+ЛІ{3; -1; 4}, Р{1; 2; 2}, d = л/Ї7. 514. sin в = 1/^6. 515. Для обеих прямых Am + Bn + Cp = 2 ¦ 2 + 1(—1) + (—1) • 3 = 0, но точка первой (—1; —1; 3) не лежит на плоскости, а точка второй (—1; —1; —3)
лежит на плоскости. 516. у + z + 1 = 0 ^уравнения прямой можно
ж — 2 у — 1 z\
записать в виде - = - = — . 517. ж — 2г/ + z + 5 = 0.
0 1 IJ
Ответы
269
518. 8х - Ъу + z - 11 = 0. 519. х + 2у - 2z = 1. 520. - = - = -•
у т 3 11
17°33'. 521. (5; 5; -2). 522. (6; 4; 5). 523. (5; 5; 5). 524. (3; 3; 3).
, AA1PP1 1 X-2 у-1 7
525. d = -—--- = —=. 526. x + 2y-bz = 0. 527.-=--= —.
IPxPiI ^ У -9 8 11
528. (1; 1; 2); 70°. 529. (-1; 2; 2); 30°. 530. (6; 2; 0). 531. (3; -1; 1). 532.x-j/-z = 0. 533. (—1; 3; 1). 534.^-^ = ^- = ^2. 535. Точки на прямых: 0(0; 0; 0) и А(2; 2; 0); направляющие векторы прямых:
ОуіРР 6
Р{0; 0; 1} и Р!{2; -1; 2},d= |р х = ^д- 536. 1) (7(1,5; -2,5; 2),
R =2, 5л/2; 2) (7(0; 0; a), R = а. 537. (х - I)2 + (г/ + I)2 + (z - I)2 = 1. 538. X2 + у2 + z2 = 8х. 539. х2 + у2 + z2 - а(х + у + z) = 0. 541. у2 = = 2ах-х2. 542. х2 + у2 = 2ах, x2 + z2 = 2ах, y2 + z2 = а2. 544. (1; 7; 2), R = A. 545. (ЗУ -2Z)2 = 12(3X-Z). 546. 1) у = 0, х2 = а2 - az (парабола); 2) X = 0, у2 = a2 — az (парабола); 3) z = h, х + у = ±\/'а(а — h) — прямая, параллельная х + у = а (см. рис. 59 на с. 320). Цилиндрическая
г. 9 , „х, X2 (у + 2)2
поверхность 2х + (у — z + 2) = 8, форма тени ——|---- = 1 —
4 8
эллипс. 548. 2х - у + 3z - 7 = 0. 549. х2 + (у + А)2 + z2 = А.
(х-2)2 (у + А)2 550. ^->— + УУ ' = 1. 553. Sx - z 2 + Sy - z 2 = 4Sx - z).
36 18 2 2 2
554. ж = 4, z + y = 2. 555. Ж ^ У = Z—. 556. /г2ж2 = 2pz[h(у + а) - az].
а2 с2
557. (0; а; 0), направляющая — окружность z = а, х2 + (у — а)2 = а2.
558. Вершина (0; 0; 0), направляющая — парабола z = h, х2 = 2hy.
559. При Z = Ox = +а; при у = h х2 + у2 = а2; при х = +с пря-
Vа2 — с2
мые z = +-у, т. е. поверхность образована движением пря-
h
мой, параллельной плоскости yOz и пересекающей окружность ABC (см. рис. 65 на с. 321) и ось Ох. 560. a) z = х2 + у2; б) \Jу2 + z2 =
g-^+y2). 2) z = п 4 п. 562. 9Sx2 + г2) = 16у2. X2 + у2
563. X2 + z2 = z(у + а). 564. а) х2 + z2 = у2; б) z2 = х2 + у2.
565. Повернув оси Ox и Oy вокруг оси Oz на 45°, получим уравнения поверхности и плоскости в виде 2Z2 = X2 - Y2, X = ал/2. Отсюда
г Y2 Z2 г
сечение: X = а\/2, —- + — = 1 — эллипс с полуосями ал/2 и а. 2а2 а2
X2 + у2 z2 . . 45 . X2 + у2 z2
566. —+ — = 1. 567. а 3, 84тг; б —тт. 568. а —---- = 1
а2 с2 ' ' А 'а2 с2
у2 _|_ ^2
(однополостный гиперболоид); б) —---— = 1 (двуполостный ги-
270
Ответы
перболоид). 570.
1
1
у X
2' 4
6 У
1
3
571. X
у\ X Z ( у\ X Z
- ,---= 3(1--) и- + - =
2/' 4 6 V 2) 4 6
= — [(с — z) cos t + (с + z) cos (t + a)],
?/ = — [(с — z) sin t + (с + z) sin (t + а)], откуда
X
Z
1 + cos а; при а
3z2
90°
2а2
2а2 1, при а
(1
120°
1, при а = 180°
4а2
0 (конус). 572. X2
¦ cos а
а'
„,2
574. ж + г/ = 4, X — у = z; х + у = 2z, х — у = 2. 575.
2/ + zl
2а2
576. ж2+г/2-г2
-2а2 (двуполостный гиперболоид). 577. х
zz + у2 4а
578. 9х = ± 13z. 579. 4г/ = ±3z. 580. 1) Сфера с центром (0; 0; а) и радиусом R = а; 2) параболоид вращения вокруг Oz; 3) цилиндр; 4) гиперболический параболоид; 5) конус; 6) параболический цилиндр; 7) конус; 8) параболоид вращения; 9) конус; 10) цилиндр. 581. х + у = 2 + z, X - у = 2 - z; X + у = 3(2-2), Цу - ж) = z + 2. 582. х2 + у2 =
= 2az. 583. z = а - Х + У . 584. 2у = ±3z. 585. Зж + 4г/ = 24 Зж - 4г/ = 12z; z = 0, Зж = 4г/. 586. 26. 587. -38. 588. 7. 589. 2а 590.1. 591. sin (а + ?) sin (а- ?). 592.-10. 593.4а. 594.-262 595. -2ж. 596. -4а3. 597. 144. 598. 72. 599. (ж - у)(у - z)(x - z) 600. 1. 601. sin (? — et). 602. 10. 603. Лежат на прямой у = ж + 2
0. 605. 10. 606. amn. . 610. 1) X1 = 2, X2 = 3;
ж У 1 ж У 1
604. 1) X1 У\ 1 = 0; 2) 2 3 1
X2 2/2 1 -1 5 1
607. а(х — z)(y — z)(y — ж). 608. 4sinasin'
