Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ha рис. 80 положено с л/2 = а. 353. г = Ь + а cosijC. 354. Из АОАМ: г = OM = OA cosf, но из А0А5: OA = 2а sin у, откуда г = a sin 2^. 358. Пусть точка А на оси Ож, точка 5 на оси Oy и Z0A5 = t. Тогда ж = BM cost = ВС cos2 t = a cos3г/ = AM sin f = АО sin2 t = = asin3t; итак, ж = acos3t, г/ = asin3t, откуда ж2/3 + г/2/3 = а2/3.
2
360. у2 = _E^L_. 361. (3j/2 + х2^2 _ 4х2(а2 _ 2\ 362_ в полярных р + X
координатах г = OM = AB = ВD sin f = atgipsmip; в декартовых ж3
у2 = - (рис. 85). 365. Обозначив через t угол луча OA с Ож, най-
a — ж
• 2 Sa3
дем ж = 2a ctg t, у = 2а sm t. Исключив t, получим у = —--.
xz + Aa1
367. ж = a(t — sin і), у = а(1 — cost). 368. ж = a(cost + і sin і), у =
X (R + r)t = alsmt—tcost). 369. у = ж ctg —. 370. ж = (R+r) cos і — г cos-,
а г
г/ = (5 + г) sin і — г sin-, где t — угол поворота линии центров.
г
R — г . R — г 371. ж = (R — г) cost + г cos-1, у = (R — г) sini — г sm-1.
374. X = Y.xi = 8; у = Y.Yi = -2; ом = V64 + 4 = 2VT7.
375. + 2^3- 379. 1) с = 2) а = 2с - Ь. 380. с = ^(а - Ь).
381. m + р = n; ОЁ = 3(т + п),ВС* = 3(п - т), Е~6 = 3(т - п), ОТ) = 3(2п-т), Ъ~Х = 6(т-п). 382. AC* = 2(n-m), ОЙ = 2п + т, Or} = Зт + п, Mr} = 2т - п. 383. 6^3- 384. X = X1 + X2 + X3 = = - 3, Y = = 6, OM = V9 + 36 = 3^5- 385. 1) а = 3(с - Ь);
2) с = 2Ь - алД. 386. OM = г = 5лД; cos a = 0, Ъх/2, cos /3 = -О, 3V% COS7 = 0,4^2- 387. г = 7; cos a = 2/7. 388. /3 w 52° или 128°. 389. М(Зл/2; 3; -3), г = 3(V2i + j - k). 390. u = 2i - 6j + 3k, и = 7.
391. OC = і - 2j + k, OC = л/6; JE = к - 4j - і, AB = ЗлД.
392. Конец 5(4; -2; 5) или 5і(4; -2; -7), cos a = 2/7; cos/3 = -3/7;
r- 2
cos 7 = ±6/7. 393. а = 2b - 0,8c. 394. и = 3V5, cos a =---=.
3V5
395. cos a = cos/3 = COs7 = 1/лД. 396. 45° или 135°. 397. D(A; 0; 6). 398. с = 2b - 2а. 399. 135°. 400. B = C = 45°. 401. cos<p =
Ответы
267
= 1/л/Ш = 0, 316; <р = 71°35'. 402. cos <р = 2/л/5 = 0, 894; <р w 26°37'. 403. 60°. 404. arccos 0,8. 405. 90°. 406. прьа = 4л/2/3. 407. 2. 408. 1) 2 + л/3; 2) 40. 409. ( a + b)2 = a2 + b2 + 2аЬ cos ip (теорема косинусов); (a + b)2 + (а — Ь)2 = 2а2 + 262 (свойство диагоналей параллелограмма). 410.7. 411. R = л/(а + b + с + d)2 = 10\/4 + 2л/2 w 25, ЗН.
г- гг- (2m — n)m 5 , _,
412. л/7 и л/13. 413. cos (a, m) = ) =— = —г=; cos (а, n) =
л/(2т — п)2 • 1 2л/7
= - 2/л/7. 414.5/6. 415. Olt = 2(i + j + 2k), Ш = 2(i + 2j + k);
cos в = 5/6. 416. cos^ = 2/л/7. 417. cos <p = 0,26л/Ш; <p w 34°42'.
418. ?)(-1; 1; 1); <p = 120°. 419. npab = ——— = -6. 420. OM =
- - ОЕ-ай
= л/(2п + т)2 = л/7, = л/(3т + п)2 = л/ЇЗ; cos^ = QM . QJV =
17 17 4л/2
- 0,891,^ = 27°. 421.120°. 423. 80 Дж, cos С
2л/9Ї 19,08 ' 15
424. ал/6. 425. cos <p = -1/4. 426. a x b равно: 1) -6j; 2) -2k; 3) 6i - 4j + 6k. Площадь равна: 1) 6; 2) 2; 3) 2л/22. 427. 24, 5. 428. л/2Ї, h = л/472. 429. 1) 2(k - і); 2) 2a x с; 3) a x c; 4) 3. 430. Площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, вдвое больше площади данного параллелограмма. 431. 50л/2. 432. 1,5л/2. 433. Зл/Ї7, SA = Зл/Ї7/2. 434. SA = 7л/5, BD = 2л/2Ї/3. 435. |a + b| = |a - b| = л/5, 5 = л/6. 437. 1, 5. 438. V = 51, левая. 439. V = 14, Я = 7лЛ/3. 441. с = 5а + b. 443. 2л/2/3. 444. V = 14, Я = л/Ї4. 445. c = a + 2b. 446. V= |(a + b) • [(b + c) х (а + с)]| = 2|abc|.
447. (m x n) • р = |m x n| • 1 • cos a = sin a cos a = 0, 5 sin 2a. 449. 52.
2 3 6
451. cos a = -, cos/3 = -, C0S7 = -. 452. x+4y—2z = 2. 453. ж+г/= 2a.
454. + z = a. 455. 2t/-3z + 7 = 0. 456. 3t/ + 2z = 0. 457. 2ж + г/ = 0.
458.- + - = 1. 459. ж+ г/+ z = 4. 460.- + - + - = 1. 462. cos a =-,
a с 4 3 2 3
cos/3 = -|, COs7 = a = 480Il', /3 = 131°49', 7 = 70°32'. 463. ж -
- 2t/-3z + 14 = 0. 464.3ж-4г = 0. 465.ж + г/ = 4. 466.- + - + - = 1.
2 4 4
467. 1) 45°; 2) 78°30'. 468. ж - 2y - 3z = 4. 469. 2ж + Зу + Az = 3. 470.2x+y+z = a. 471.2x-2y+z = 2. 472. 2x-y+z = 5. 473. Зж-г/= 0 иж + Зг/ = 0. 474.3. 475. л/б. 476. 2л/2. 477. 1) ж - 2у + 2z = 11,
x-2y + 2z = -1; 2) ж + г/-2г = 0 и ж + jz + z = 0. 478. 1) x-8y + 9z = 21; 2) ж-г/ + 2г = 0 и x-y-z = 0. 479. (1; -1; 2). 480. Зж - Ay + z = 11. 481. 2у — bz + 10 = 0. 482. Уравнение плоскости ж + у — 2z = 0; угол
268
Ответы
ее с плоскостью z = 0: cos Lp = л/б/3 Pd 0,8165, Lp = 35°15'. 483. -L=.
V3
484.y = ±z. 485. 2" ° 486.2ж + 2у + z = 20и2ж + 2у +
л/а2Ь2 + а2 с2 + 62с2 + z+4 = 0. 487. 7ж+14г/+24 = 0. 488.1) (5; 4; 0) и (7; 0; 2); 2) (0; -4; 0)
и (2; 0; 2). 489. х = -z + 3, у = -z + 5; = =
490. —р = = р 491. Р{0; 0; 1}. 492. 1) P = i; 2) P = і + k;
X + 1 у — 2 z_3
3) P = j + k. 493. —— = —л— = -—; cosa = 0,3v^, cos/3 = 0,4V2,
3 4—5
cos7 = — 0,5л/2- 494. x = 2, z = 3. 495. Через t секунд координаты
X — 4 у + 3 z — 1
точки M будут X = 4 + 2t, у = —3 + Ш, z= 1+t; —-— = —-— = —-—.
496. I) X = -2-И, у = 1 — 2*, z = -1 + 3*; 2) х = 1+*, y=l-t,z = 2 + t.
