Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1
N 2N2 3N3
2530. Зная In 2 = 0,6931, вычислить In 5 и In 10 и показать,
что модуль M = -Ki 0, 4343.
In 10
2531. Вычислить Ig 101 и Ig 102.
2532. Определить в виде ряда длину дуги эллипса.
O
нужно для того, чтобы погрешность была меньше 0,001.
2534. Определить в виде ряда функцию Ф(
cos — dx и 4
вычислить Ф I — I с точностью до 0,000001.
254
Гл. 14. Ряды
2535. Написать первые три члена ряда, определяющие решение уравнения у' = ж2 + у2, удовлетворяющее условию: у = 0 при X = 0.
2536. Написать в виде ряда решение уравнения у" + ху = 0 с начальными условиями: при х = 0, у = 1, у1 = 0.
2537. Написать в виде рядов уравнения переходной кривой, вдоль которой кривизна к нарастает пропорционально длине дуги s.
dip s
Указание. Из условия — = —, где С — постоянная, найти ср и
ds С
затем решить уравнения dx = ds cos ср и dy = dssincp.
§ 6. Ряд Тейлора для функции двух переменных
Формулу Тейлора для функции двух переменных можно написать в трех следующих видах:
F(x+ h, у +I) =F(x, у) +
1
ЇЇ
д
д
дх ду 1
F(x, у) +
2!
д
д
F(x,y)=F(a,b) +
1!
дх ду д
F(x, у) +
{х-а)Тх + {у-Ь)ду\
F(a, Ь) +
1 2!
і \ 9 . ,,9 (ж_а)_ + (г/_6)_
F(a, 6) +
Az
dz d2z
1!
2!
х=хо-\-в Ax у=Уо+0Ау
(п)
(пі)
2538. Написать разложение функции F(x + h, y + l) по формуле Тейлора (I), если F(x, у) = х2 + ху + у2.
2539. Разложить функцию F(x, у) = х3 + 2ху2 по степеням X — 1 и у — 2 (формула (II)).
2540. Разложить функцию F(x, у) = In (х — у) по степеням х и у + 1, написав члены 1-го и 2-го порядков и остаточный член (формула (II)).
2541. Разложить функцию F(x, у) = sin (гаж + ray) по степеням ж и у, написав члены 1-го, 2-го и 3-го порядков и остаточный член (формула (II) при а = Ь = 0).
2 2
2542. Разложить по степеням ж и у функцию е~х ~у (формула (II) при а = Ъ = 0).
2543. Определить приращение Az функции z
су + уг
(формула (III)) и вычислить его при условии, что ж изменяется с 2 до 2,1, а у изменяется с 3 до 2,8.
7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье
255
2544. Определить приращение Az функции z = cos (ax — by), написав два члена формулы (III) и остаточный член.
2545. Функцию F(x, у) = х2у разложить по степеням х — 1 и у+1 (формула (II)).
у
2546. Функцию F(x, у) = arctg — разложить по степеням х — 1
ж
и у, ограничившись членами 1-го и 2-го порядков.
2547. Разложить функцию z = уж по степеням ж — 2 и у — 1, написав члены 1-го и 2-го порядков, и вычислить 1,I2'1.
2548. Определить приращение Az для функции z = ж2у — у2 и вычислить его с точностью до 0,0001 при условии, что ж изменяется от 2 до 1,99, а у — от 5 до 5,02.
§ 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье
1°. Определение. Функция f(x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на отрезке [а, Ь], если она на этом отрезке:
1) имеет конечное число разрывов, причем все они первого рода;
2) имеет конечное число экстремумов;
Чч f( ч Дг-0) + /(г + 0) , м
Л) j(x) =--- во всех точках (а, о).
2°. Функция f(x), удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке [—/, /], может быть определена во всех точках этого отрезка рядом Фурье:
OO
ао Г П7ГХ ¦ П7ГХ t(x) = у + Z^1 [ап cos —---1- On sm ——
п = 1
где
1 /* ПТГХ 1 f ПТГХ
ап = у / j(x)cos—r-dx; bn = у / f(x) sm —— dx. (2)
-; -;
Если f(x) = f(—x), т. e. f(x) — функция четная, то Ьп = 0 и
OO
ао птгх
J(x) = у + 2^a«cos—F- • (3)
п = 1
Если /(ж) = —f(—x), т. е. /(ж) — функция нечетная, то о„ = О и
OO
/(ж) = ^6nsin^. (4)
256
Гл. 14. Ряды
Если функцию f(x), определенную рядом (1) на отрезке [—/, /], продолжить по периодическому закону с периодом 21, потребовав, чтобы
fm f(i - 0) + f(l + 0) fi m
J(I) =---, то она будет определяться рядом (1) и на
всем своем продолжении.
3°. Если функция f(x) абсолютно интегрируема в промежутке
+ OO
(—схэ, оо) ^т. е. J \f(x)\dx сходится^ и удовлетворяет условиям Ди-
— сю
рихле на всяком конечном отрезке, то она может быть представлена интегралом Фурье:
+ СЮ +OO
f(x) = — J da J f(t) cos a(x — t) dt =
+ OO
a(a) cos ax + b(a) sin ax] da, (5)
о
7Г
O
где
+ оо +оо
If 1 f
— / f(t) cos at dt и 6(a) = — I f(t) sin at dt. (6)
TT I TT I
Разложить в ряды Фурье следующие периодические функции с периодом 2тт:
2549. /(ж) = 1 при О < ж < тт и f( — x) = — /(ж). С помощью полученного ряда показать, что
111 тт
1---1-----\- ...= -.
3 5 7 4
2550. f(x) = X при О ^ X ^ тт и f( — x) = /(ж). С помощью полученного ряда показать, что
111 _ тт2
+ 32 + 52 + 72+-" -у
2551. /(ж) = X2 при — тт ^ X ^ тт. С помощью полученного ряда показать, что
1Ї 1 - 1 —-— - —
> 22 + 32 42 +'"~12'
III -iL
2) 1 + 22 + 32 + 42 + - - - - 6 •
„, ч ( тт при —7Г < Ж < О,
2552. / ж = <^ Р _ . '
v 7 І 7Г — ж при U ^ ж ^ тт.
7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье
257
Разложить в ряд Фурье периодические функции с периодом 21:
1 при 0 < X < / и f( — x) = — f(x).
1-х при 0 ^ X ^ 1, f( — x) = f(x), I = 1.
О при — / < X ^ О, X при 0 ^ X < /.
2556. f(x) в области (0, 2] задана графиком (рис. 35) и продолжена: 1) по четному; 2) по нечетному периодическому закону с периодом 21 = 4. Разложить каждую из этих функций в ряд Фурье.
