Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
2) sin2 ж; 3) хех; 4) sin (тх -\--^ и написать и исследовать формулу остаточного члена.
2493. Написать первые три члена разложения в ряд функции /(ж) = Ы(1 + екх).
2494. По формуле Маклорена написать разложение в ряд по сте-
/ х\т
пеням ж бинома ( 1 -\— J и показать, что полученный ряд сходится при |ж| < а.
2495. С помощью биномиального ряда показать, что при |ж| < 1
1 - Зж + 6ж2 - 10ж3 + ... = V 1 + ж3 ^
4 ' п=1
\п — 1
2496. С помощью биномиального ряда получить разложение в ряд функции
1 ,I21^4 Ь3-5 6 I11
: = 1--ж -\—---х--т,-гх + ... при ж < 1.
л/Г+^2 2 ^22-2! 23.3! Р 1 1
2497. Разложить в ряд по степеням ж функции:
1) In 2) In (2 - Зж + ж2); 3) In (1 - ж + ж2).
2498. Интегрированием полученного в задаче 2496 ряда напи-
сать ряд для In (ж + л/1 +
5. Приложения рядов к приближенным вычислениям
251
2499. Разложить ех1а в ряд по степеням ж — а; написать и исследовать формулу остаточного члена ряда.
2500. Разложить функцию /(ж) = х3 — Зж по степеням ж — 1.
2501. Разложить ж4 по степеням ж + 1.
2502. Разложить в ряд по степеням ж + 2 функцию /(ж) = — и
ж
исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера.
ж
2503. Разложить в ряды функции: 1) /(ж) = cos — по степеням
7Г . TT
ж — —; 2) /(ж) = sm Зж по степеням ж + —.
2504. Разложить в ряд по степеням ж + 1 функцию /(ж) = у/х и исследовать по признаку Даламбера сходимость полученного ряда.
2505. Разложить в ряд по степеням ж функции: 1) 2х; 2) cos (тх -\--) и написать и исследовать формулы остаточных
членов разложения.
2506. Разложить функцию /(ж) = ж4 — 4ж2 по степеням ж + 2.
2507. Разложить в ряд по степеням ж — — функцию /(ж) = cos2 ж
и написать и исследовать формулу остаточного члена ряда.
2508. Разложить в ряд по степеням ж — 1 функцию /(ж) =
. TTX
= sm —. 3
2509. Разложить в ряд по степеням ж — 4 функцию /(ж) = у/х и исследовать по признаку Даламбера сходимость полученного ряда.
2510. С помощью биномиального ряда показать, что
1 1 1 о 1-3 4 1-3-5 6 . . 1
1 + т;х +7^ТТЖ + оЯ о, х +••• при ж < 1.
у/Г^х2 2 22-2! 23-3!
2511. Почленным интегрированием ряда, полученного в задаче 2510, написать ряд для aresin ж.
§ 5. Приложения рядов к приближенным вычислениям
2512. Написать биномиальный ряд для у/1 + ж и вычислить у/1, 004, у/0, 992, -\/9ЇЇ, ограничившись двумя членами ряда. Оценить погрешность.
2513. Написать биномиальный ряд для у/1 + ж и вычислить у/1, 006, 991, л/130, ограничившись двумя членами ряда. Оценить погрешность.
252
Гл. 14. Ряды
2514. Вычислить sin 12°, ограничившись двумя членами ряда для sin ж, и оценить погрешность.
Указание, х = 12°, в радианах х = 7г/15 = 0,2094. Верхнюю границу погрешности определить из условия X < 0,3.
2515. Делением числителя дроби-- на ее знаменатель по-
1 + Xі
^ оо
лучить разложение-- = Y2 ( — 1)п~1х2п~2 и, проинтегрировав
1 + X n-i
почленно полученный ряд, написать разложение в ряд arctg ж.
1 ~ {-1)п-1х2п-1
2516. Полагая ж = —= в разложении arctg ж = -,
л/3 n-i 2га — 1
получить ряд для вычисления 7г:
оо ,
\П—\
(2га- 1)3™"1
2517. Вычислить 7Г, взяв пять членов ряда задачи 2516.
2518. С помощью полученного в задаче 2497 ряда
In1 +
X^ X^
1 — ж
вычислить In 2, In 3, In 4, In 6.
1 + X
Указание. Положив-- = 2, найти ж и т. д.
1-х
f sin u. . „
2519. Определить в виде рядов интегралы / -аж и / —аж.
2520. Определить в виде ряда функцию Ф(ж) = J е х dx и
о
вычислить Ф(1/3), взяв столько членов, сколько нужно для того, чтобы погрешность была меньше 0,001.
X
2521. Определить в виде ряда функцию Ф(ж) = J y/l + ж2 dx
о
и вычислить Ф(1/5), взяв столько членов, сколько нужно для того, чтобы погрешность была меньше 0,00001.
2522. Найти в виде ряда решение уравнения у" = ж2у с начальными условиями: при ж = 0, у = 1, у' = 1.
2523. Найти первые четыре члена ряда, определяющего решение уравнения (Риккати) у1 = 1 + ж — у2 с начальными условиями: у = 1 при ж = 0.
5. Приложения рядов к приближенным вычислениям 253
2524. Написать в виде ряда решение уравнения Бесселя ху" + + у' + ху = О с начальными условиями: у = 1, у' = 0 при ж = 0.
2525. Вычислить л/ЇЛЖ, ^1,0012, л/07993, лУОТЩ л/Ш, \/70, \/40~, ограничившись двумя членами биномиального ряда
т(т — 1)ж2
(1 + х)т = 1 + тх -\--—--Ь • • •, и оценить погрешность.
2526. Вычислить cos 12°, ограничившись двумя членами разложения в ряд cos ж. Оценить погрешность.
2527. Полагая в разложении в ряд aresin ж (задача 2511) ж = = 1/2, вычислить 7Г, ограничиваясь тремя членами ряда.
Указание. Сначала вычислить первый из отброшенных членов, затем выразить десятичной дробью каждый из первых трех членов с погрешностью не больше первого отброшенного члена.
тг 1 1
2528. Пользуясь тождеством — = arctg — + arctg —, написать
выражение для 7Г через сумму двух бесконечных рядов.
2529. Полагая ж = 1/N в разложении In (1 + ж) в ряд, получить формулы:
1) ln(7V + l) = In N +
1 1
+
2) Ig (N + 1) = Ig N + 0,4343
1
N 2N2 ' 37V3 1 1
+
