Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Минорский В.П. -> "Аналитическая геометрия на плоскости" -> 70

Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.

Минорский В.П. Аналитическая геометрия на плоскости — М.: МГТУ, 1997. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): analitgeometr1997.pdf
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 100 >> Следующая

п—)-оо
Несходящийся ряд называется расходящимся.
Для сходимости ряда необходимо (но не достаточно), чтобы Un —У О при п —У со.
2°. Интегральный признак сходимости ряда с положительными убывающими членами:
Если Un = f(n), где f(x) — убывающая функция, и
OO
tix\ — <М' то Ряд СХ°ДИТСЯ) ^ ' loo, то ряд расходится.
1
3°. Признак Даламбера сходимости ряда с положительными членами: если
то ряд сходится, Hm -¦— = г < > 1, то ряд расходится,
то вопрос остается нерешенным. 4°. Сравнение рядов с положительными членами:
Ui + U2 + U3 + . . . + Un + . . . ; (1)
vi + V2 + V3 + . . . + Vn + . . . (2)
1) Если Un <J Vn и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
2) Если Un ^> Vn и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1). 5°. Ряд с чередующимися знаками Ui — U2 + U3 — U4 + ¦ ¦ ¦
сходится, если Ui > U2 > из > ... и Hm Un = 0.
п—)-оо
6°. Абсолютная сходимость. Ряд
Ui + U2 + U3 + . . . + Un + . . . (3)
сходится, если сходится ряд
Kl+ Kl+ M+ ..• + Kl + ... (4)
1. Числовые ряды
243
В этом случае ряд (3) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (3) сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:
13 5 7
2422. - H---1---1---\- ...
2468
1111
2423. - H---1---1---\- ...
13 5 7
2 4 6 8
2424. - H---1---1---\- ...
3 9 27 81
Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:
1 1 1
2425. IH---1---1---Ь ...
3 5 7
1 1 1
2426. 1 + — + — + —= + ...
л/4 л/7 л/ЇЇЇ
1 2 3 2427.--1---1---Ь ...
23 З3 43
1 1 1
2428.-- H--- H--- + ...
1 + 12 1 + 22 1 + 32
1 2 3
2429.-- H--- H--- + ...
1 + 12 1 + 22 1 + 32
1 1 1
2430.--- +--- +--- + ...
2431. -5— +-тг- + , "9 + ...
2 In2 2 31п2 3 4 In2 4
Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда: 2 4 6 8
2432-3 + 9 + 2^+8Ї + --2 4 8 2433.1 + - + - + - + ...
1-2 1-2-3
2434-1 + Т^+ь1Г5 + --3 з2 з3
2435Л+2Тз + 2^+2^ + --1 3! 5! 7!
2436-2 + 2П + 2^4Тб + 2^Г8 + --1 5 9 13 2437. -р= + . + , + ,-+ • • •
х/3 v/2^32 ч/З^З3 VA~^?
244
Гл. 14. Ряды
Сравнением с гармоническим рядом или с убывающей прогрессией исследовать сходимость ряда:
1 1 1
2438. 1 + — + — + — + ...
уД уД Д
1 1 1
2439. 1 + —— + —— + —тт + ...
2-5 3-52 4-53
1111
2440.---h---h---h---h - - -
In 2 In 3 In 4 In 5
2441. Методом сравнения рядов показать, что ряд-- +
1 + Xі
+-- -\--- + ... при |ж| ^ 1 расходится, а при \х\ > 1
1 + ж4 1 + жь
сходится.
Указание. Для сравнения в первом случае заменить ж2, ж4, ж6, . . . единицами, во втором случае отбросить в знаменателях единицы.
Найти сумму ряда:
1 1 1
2442.--1---1---\- ...
1-22-33-4
Указание. Разложить Un на элементарные дроби.
1 1 1
2443.--1---1---Y ...
1-44-77-10
Исследовать сходимость ряда:
1 1 1
2444. 1 - — + — -— + ...
Д уД уД
1 1 1
2445. 1--^ + ^т--o + • • •
З2 52 72
1 1 1
2446. —------Ь —--...
2 In 2 3In 3 4 In 4
sin a sin 2а sin За 2447.--1-----1-----\- ...
1 22 З2
2448. Показать, что сумма S условно сходящегося ряда 1---Ь
1 1
H-----Ь • • • уменьшится вдвое, если после каждого положитель-
3 4
ного члена ряда поместить два последующих отрицательных, и увеличится в полтора раза, если после каждых двух положительных членов поместить один отрицательный.
2. Равномерная сходимость функционального ряда
245
Исследовать сходимость ряда:
1 1
2449. 1 + —= 4- —- + ...
3\/3 5л/5 1 1 1 245°-1+Ш + 2(П + Ш + ---
24Б2-1 + 1 + 1 + Гб + --2453.1 + -^ + ^ + ^ + ...
13 5 7
2454'2 + Р + 2* + 2* + "
21 41 61
2455.--1---1---Ь ...
3 9 27
2 4 6 2456-ї + ЗЇЇ + 5!+---
1 1
2457^-Ti + T!--
2458.1 - 1 + 1-1 + ...
24БвЛ-І + 3^-4^ + -
Найти сумму ряда:
1 1 1
2460. --I---I--+ ...
1 • 3 3 • 5 5 • 7
1 1 1
2461.--1---1---Ь • • •
1-2-3 2-3-43-4-5
§ 2. Равномерная сходимость функционального ряда
1°. Совокупность значений х, при которых функциональный ряд
иі(х) + и2{х) + . . . + ип{х) + . . . (1)
сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Функция S(x) = lim Sn(x) называется его суммой, а разность
Rn(х) = S(x) — Sn(x) — остатком ряда.
246
Гл. 14. Ряды
2°. Ряд (1) называется равномерно сходящимся на отрезке [а, Ь], если для всякого є > 0 можно найти такой номер N, что при п > N и любом X на отрезке [а, 6] будет выполнено неравенство |Дп(ж)| < є.
3°. Признак равномерной сходимости. Ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на отрезке [а, Ь], если существует числовой сходящийся ряд с положительными членами
Cl + C2 + C3 + . . . + Cn + . . .
такой, что <С Cn при a <С х <С 6.
2462. Определить при |ж| < 1 сумму и остаток ряда 1 + ж + + ж2 + ж3 + ... и показать, что он сходится равномерно на отрезке [О, 1/2]. При каком п остаток |і?га(ж)| < 0,001 для любого ж на этом отрезке?
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed