Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1243. Сопротивление балки продольному сжатию пропорционально площади поперечного сечения. Определить размеры балки, вырезанной из круглого бревна диаметром D, так, чтобы сопротивление ее сжатию было наибольшим.
1244. Из круга вырезается сектор, содержащий угол а, а затем сектор свертывается в конус. При каком значении угла а объем конуса будет наибольшим?
1245. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть приложенной к нему силой F (рис. 30). Под каким
углом а наименьшей.
Рис. 29
о^изиыту ыужыи Коэффициент трения
§ 6. Направление в?ійуклости ; Построение'
Рис.
направить силу F, kt = 0,25.
TO^jeJC пер кривых
30
чтобы она была
тиба кривой.
1°. Выпуклость. Кривая называется выпуклой «вверх» («вниз») в точке X = Xo, если в некоторой окрестности этой точки (слева и справа) кривая расположена «ниже» («выше») касательной в этой точке. Если в точке X = Xo'-
1) у" > 0, то кривая выпукла «вниз»;
2) у" < 0, то кривая выпукла «вверх».
2°. Точкой перегиба называется точка, в которой кривая переходит с одной стороны касательной на другую (и, следовательно, меняет направление выпуклости). Необходимым условием точки перегиба является то, что в ней у" = 0 или не существует, а достаточным — то, что у" при этом меняет знак.
6. Направление выпуклости и точки перегиба кривой
139
3°.Для построения кривой рекомендуется определить: ^симметрию; 2) область расположения; 3) точки пересечения с осями Ox и Oy; 4) точки разрыва функции у = (р(х) или х = f(y) и асимптоты; 5) возрастание или убывание у или х и экстремальные точки; 6) направление выпуклости и точки перегиба.
1246. Исследовать направление выпуклости и построить кривые:
1) у = ж2; 2) у = X3; 3) у = ех; 4) у = In х; 5) у = ж5/3.
1247. Определить экстремальные точки и точки перегиба кривых и построить кривые:
1)у=у-ж2; 2) у = е-*2; Ъ) у =-^—^; 4) у = 21/-.
Применяя некоторые из правил п. 3°, построить кривые, заданные в задачах 1248-1262 уравнениями:
1248. у2 = 2ж + 9. 1249. у = -ж2 - Ах.
Указание. В задаче 1248 определить симметрию, область расположения и точки пересечения с осями, а в задаче 1249 — точку экстремума и точки пересечения с Ох.
1250. у = sin ж, у = cos ж. 1251. у = sh ж, у = сЬж.
Указание. В задачах 1250, 1251 определить точки экстремума и перегиба.
1252. у = In (ж + 2). 1253. у = е~х.
Указание. В задачах 1252, 1253 определить область расположения точки пересечения с осями, асимптоту и направление выпуклости.
1254. 1) у2 - = ж3; 2; ) у2 = = (ж + З)3.
1255. 1) У = 2 + - 12 2] ) У = 3 1
X2-А1
1256. 1) У = е In: с 2\ ) У = еже-г\
X
1257. 1) У = X + ¦ 4 ж + 2' 2\ )У = 1 2
1258. 1) У = ж — ] In ж; 2\ )У = — (exla _|_ p-x/a 2у
1259. 1) У = 4 Ж 2\ )У = А 1 - + ^4-
Ж3 - ¦ 1'
1260. 1) у2-- = 2ж2 ж4- 2\ ) X (у -ж)2 = 4.
1261. у : = (ж + 2) 2/3 - (ж 2)2/3.
1262. у2 = ж е~х.
Глава 8
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Неопределенный интеграл. Интегрирование разложением
1°.Неопределенным интегралом J f(x) dx называется функция F(x) + С, содержащая произвольное постоянное С, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x) dx, т. е.
f(x)dx = F(x) + C,
d[F(x) + C] = f(x)dx. 2°. Таблица основных интегралов:
f xn+1 f
1. / хп dx =--h С 6. / sin X dx = — cos x + C.
J n + l J
(пф-1).
2. f — =\n\x\ + C. l.[^- = tgx + C.
Jx J COSz X
f cix f dx
3. axdx=---VC 8. I0= -ctg x + C.
In a
sm2 X
arctg X + C
ex dx = ex + C. 9. j dX = { или
1 + X
—arcctg X + Сі.
/( arcsin .с + C '' 0 = < или vі ~ a'" arccos ж + C
3°. Свойства неопределенного интеграла: I. d [ и dx = и dx. П. f du = и + С.
III. J Audx = A j udx. IV. j (и + v) dx = j udx + J vdx.
1. Неопределенный интеграл. Интегрирование разложением 141
Интегрирование разложением есть приведение данного интеграла (по свойству IV) к сумме более простых интегралов.
1263. В следующих равенствах заполнить пропущенные места:
1) d( ) = 2ж dx; 2) d( ) = х3 dx;
dx
3) d( ) = cos X dx; 4) d( ) = —; 5) d( ) = -?-; 6) d( ) ^
COS^ X 1 + xz
„3
Найти затем интегралы / 2ж da:, / ж <іж и т. д. Найти интегралы:
2 . „ . Л , ^ /" Юж8 + 3
1264.1) у ^аґ + 2а: +-J da:; 2) у -г—da:.
ч Г X - 2 , , Г (ж2 + I)2 ,
1265.1) / —— dx; 2) / ^-dx.
J Xі J Xі
Г Г ( 1 1
1266.1) Пу/х + fa) dx; 2)
, /" (Va7- I)3 , , Г X - 1 ,
1267.1) / -'—dx; 2) / аж.
V ж2
1268.1) / ех I 1 - ^r-) dx; 2) I ах (1 + ^7= ) dx.
dx.
і сов2ж , і о
1269.1) /---г^гіж; 2) lctg2xdx.
cos2 ж sin ,
гіж f 3 — 2 ctg2i ,
1270.1) / ^-=-—; 2) I -dx.
SlIl ж COS ,
1271. 1) I sin2 I dx; 2) j cos — dx.
142
Гл.8. Неопределенный интеграл
Найти интегралы:
-2 - I)2
1273.1) 1 ±-dx; 2) / ( -^j=--) dx.
, . „ - 2 , ( (2-і/ж + I)2 ,
1274.1) / dx; 2) / v v J——dx.
1275.1) / I - + Дг + ДЛ dx; 2) f(sm--cos-Ydx.
2 2
1276.1) I ex ( 1 + J гіж; 2) / аж ( 1+ ^_ ) dz.
1 — sm^ x
1277. /--dx. 1278. / т^ж dx.
