Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Г(с) = 0. (1)
2°. Теорема Лагранжа. Если f(x): 1) непрерывна на отрезке [а, Ь], 2) имеет производную внутри него, то между а и 6 найдется такое х = с, при котором
f(b)-f(a) = (b-a)f(c). (2)
3°. Теорема Кош и. Если f(x) и р(х): 1) непрерывны на отрезке [а, Ь], 2) имеют производные внутри него, причем р'(х) ф 0, то между а и Ь найдется такое х = с, при котором
т - на) = т
р(Ъ)-р(а) р'(с)- (>
2. Теоремы о среднем
129
Эти теоремы носят название теорем о среднем потому, что в них говорится о некотором значении х = с, среднем между а и 6.
Геометрически теоремы Ролля и Лагранжа утверждают, что на дуге AB непрерывной кривой у = f(x), имеющей в каждой точке определенную касательную и не имеющей точек возврата, найдется внутренняя точка, касательная в которой параллельна хорде AB.
На дугах, содержащих угловые точки или точки возврата, условия теорем о среднем, очевидно, не выполнены.
Теорему Ролля в частном случае при /(6) = f(a) = 0 формулируют так: между двумя корнями а и 6 функции f(x) найдется по крайней мере один корень ее производной f (х), если f(x) непрерывна на отрезке [а, 6] и имеет производную внутри него.
1101. Проверить, что между корнями функции f(x) = X2 —Ах + + 3 находится корень ее производной. Пояснить графически.
1102. Применима ли теорема Ролля к функции f(x) = 1 — л/х2 на отрезке [—1, 1]? Пояснить графически.
1103. Построить дугу AB кривой у = | sin ж | на отрезке [—7г/2, 7г/2]. Почему на дуге нет касательной, параллельной хорде AB? Какое из условий теоремы Ролля здесь не выполнено?
1104. В какой точке касательная к параболе у = х2 параллельна хорде, стягивающей точки А( — 1; 1) и В(3; 9)? Пояснить графически.
1105. Написать формулу Лагранжа для функции f(x) = х2 на отрезке [а, Ь] и найти с. Пояснить графически.
1106. Написать формулу Лагранжа для функции f(x) = \fx на отрезке [1, 4] и найти с.
1107. Показать, что на отрезке [—1, 2] теорема Лагранжа не-
A з/—
применима к функциям — и 1 — ух2. Пояснить графически.
X
1108. Построить AB кривой у = | cos ж | на отрезке [0, 2я"/3]. Почему на дуге нет касательной, параллельной хорде AB? Какое из условий теоремы Лагранжа здесь не выполнено?
1109. Пусть f(x) = J^J у 2' Построить график этой
функции и, взяв на нем точки О(0; 0) и В(2; 1), показать, что между О и В на этом графике нет точки, касательная в которой была бы параллельна OB. Какие условия теоремы Лагранжа для этой функции на отрезке [0, 2] выполнены и какие нет?
1110. Поезд прошел расстояние между станциями со средней скоростью Vq = 40км/ч. Теорема Лагранжа утверждает, что был момент движения, в который истинная (а не средняя) скорость
ds
движения — была равна 40 км/ч. Показать это.
130
Гл.7. Приложения производной
1111. Дано, что /(ж) непрерывна на отрезке [а, Ь] и имеет производную в каждой точке внутри него. Применив теорему Ролля к функции
X /(ж) 1 Ф(ж) = Ь f(b) 1 , a f(a) 1
получить теорему Лагранжа. Выяснить геометрическое значение функции Ф(ж).
1112. Написать формулу Коши
^3 „ _ „2
№ - f(a) f (с)
для функ-
ip(b) - (р(а) ip'(c) ций /(ж) = ж3 и (р(х) = ж2 и найти с.
1113. Геометрически теорема Коши утверждает, что на дуге кривой ж = <~p{t), у = f(t) для значений t на отрезке a ^ t ^ Ь найдется внутренняя точка, в которой касательная параллельна хорде, если функции (p(t) и f(t) на отрезке [а, Ь] удовлетворяют условиям теоремы Коши. Доказать это.
1114. Написать формулу Лагранжа в виде /(ж + Аж) — /(ж) = = Аж/'(ж + в Ах), где 0 < 9 < 1, для функций: 1) /(ж) = ж2; 2) /(ж) = ж3, и показать, что для первой функции в не зависит от ж, а для второй зависит от ж и Аж.
1115. Показать, что л/ЇЇЇЇ = 10 H--. 1 и 10, 05.
2л/100 + в
1116. С помощью формулы Коши доказать, что если
то
/(0) = /(0) = /^0) = -.. = /^(0)
/(ж) /Н(ож)
о,
га!
где 0 < 0 < 1.
1117. Написать формулу Лагранжа
f(b) -f(a) = (Ъ -а) /'(с)
для функции /(ж) = ж3 и найти с.
1118. Написать формулу Лагранжа и найти с для функций:
1) /(ж) = arctgж на отрезке [0, 1];
2) /(ж) = aresin ж на отрезке [0, 1];
3) /(ж) = In ж на отрезке [1, 2].
3. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
131
1119. Написать формулу Коши и найти с для функций:
1) sin ж и cosa; на отрезке [0; 7г/2];
2) а;2 и д/ж на отрезке [1, 4].
1120. Построить график функции у = |ж — 1| на отрезке [0, 3]. Почему здесь нельзя провести касательную, параллельную хорде? Какое из условий теоремы Лагранжа здесь не выполнено?
1121. В какой точке касательная к кривой у = 4 — ж2 параллельна хорде, стягивающей точки А( — 2; 0) и B(I; 3)? Пояснить графически.
§ 3. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
1°. Неопределенность -. Первое правило Лопиталя.
f(x) _ f'(x)
Если lim f(x) = lim <р(х) = 0, то Hm ———- = Hm ———, когда послед-
x-?a x^a X^a ip(x) x^a Lp'(х)
ний существует.
CXD
2 . Неопределенность —. Второе правило Лопиталя.
CXD
Если Hm f(x) = Hm <р(х) = со, то Hm \ = Hm \ \ , когда послед-
х—)а х—)а х—)а </?(ж) ж—)а р> (х)
ний существует.
