Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
3) С какой точностью нужно измерить абсциссу кривой жу = = 4 при ж ^ 0,5, чтобы при вычислении ее ординаты допустить погрешность не более 0,1?
§ 12. Параметрические уравнения кривой
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями х = f(t) и у = ip(i). Обозначая точками производные по параметру, найдем:
dy_ _ у_ (Ру_ _ d(y/x) _ ух - ху
1078. Построить кривые по параметрическим уравнениям:
1 t3
1) x=t2, у = -t3; 2)x = t2, y=j~t.
Исключив из уравнений t, написать уравнение каждой кривой в обычном виде: F(x, у) = 0.
= VT^t2. = e~2t.
12. Параметрические уравнения кривой
125
Привести к виду F(x, у) = О (или у = /(ж)) уравнения кривых, заданных параметрически:
1079. 1) X = a cost, у = Ь sin t; 2) X = a cos31, у = a sin31.
ef + e~f ef - e~f
1080. 1) X =---, y=---;
2) X = tgt, у = cos2 t.
1081. Построить «развертку», или «эвольвенту», круга (см. задачу 368)
X = a(cos / + / sin t), у = a(sin t — t cos t),
давая t значения: 0, тг/2, тг, Зтт/2, 2тг.
1082. Положив у = xt, получить параметрические уравнения «декартова листа» ж3+у3 — Заху = 0 (см. задачу 366) и исследовать движение точки по кривой при монотонном изменении t: 1) от 0 до +со; 2) от 0 до —1; 3) от —со до —1.
1083. Написать уравнение касательной к циклоиде (см. задачу 367) ж = a(t — sin t), у = a(l —cosi) в точке, где t = тг/2. Построить кривую и касательную.
1084. Написать уравнение касательной к гипоциклоиде (астроиде) ж = a cos3/, у = a sin31 в точке t = тг/4. Построить кривую и касательную.
Указание. Для построения кривой составить таблицу значений х и у при t = 0; 7г/4; 7г/2; 37г/4 и т. д.
1085. Найти -— из уравнений:
ах2
1) ж = a cost, у = asmt; t3
2)x = t2, y=j-t;
3) X = a(t — sin t), у = a(l — cos t).
1086. Построить кривые, заданные параметрическими уравнениями:
1) ж = 2/-1, у=1-4/2; 2) ж = /3, у = /2 - 2,
найдя точки пересечения их с осями координат и заметив, что для dy
второй кривой — = со при / = 0. Написать уравнения кривых в ах
виде F(x, у) = 0.
126
Гл.6. Производная и дифференциал
1087. Написать уравнение касательной к циклоиде
ж = a(t — sin t), у = a(l — cos t)
в точке t = 37г/2. Построить кривую и касательную.
1088. Написать уравнение касательной к развертке круга
X = a(cos t + t sin і), у = a(sin t — t cos і) в точке t = тг/4.
1089. Найти -— из уравнений:
ax2
1) ж = 2 cosi, у = sin і; 2) ж = і2, у = t + t3; 3) ж = e2f, у = e3f.
Глава 7
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 1. Скорость и ускорение
Пусть точка движется по оси Ox и в момент t имеет координату X = f(t). Тогда в момент t
Ax dx
1090. Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с начальной скоростью а м/с. На какой высоте х он будет через t секунд? Определить скорость и ускорение движения снаряда. Через сколько секунд снаряд достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от земли?
t3
1091. Тело движется по прямой Ox по закону х = —— 2t2 + Зі.
Определить скорость и ускорение движения. В какие моменты тело меняет направление движения?
1092. Колебательное движение материальной точки совершается по закону X = a cos Lot. Определить скорость и ускорение движения в точках х = ±а и х = 0. Показать, что ускорение
—у и отклонение X связаны «дифференциальным» уравнением
1093. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за t секунд поворачивается на угол Lp = а + bt — et2, где а, Ь и с — положительные постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращения. Когда колесо остановится?
1094. Колесо радиуса а катится по прямой. Угол Lp поворота
колеса за t секунд определяется уравнением Lp = t-\—. Определить скорость и ускорение движения центра колеса.
1095. Пусть V — скорость и w — ускорение точки, движущейся по оси Ох. Показать, что w dx = vdv.
скорость V = lim —— = At^o At
dt' dv ~dt
d2x
~d?'
128
Гл.7. Приложения производной
1096. Точка движется прямолинейно так, что v2 = 2ах, где v — скорость, X — пройденный путь на — постоянная. Определить ускорение движения.
1097. Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. На какой высоте х оно будет через t секунд? Определить скорость и ускорение движения. Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на какой высоте?
1098. Сосуд в форме полушара радиуса і? см наполняется водой с постоянной скоростью ал/с. Определить скорость повышения уровня на высоте уровня hсм и показать, что она обратно пропорциональна площади свободной поверхности жидкости.
Указание. Объем шарового сегмента V = irh2 — —^ . Обе
dV
части этого равенства нужно продифференцировать по t, причем- = а
dt
(по условию).
1099. Зависимость между количеством х вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением X = A(I — e~kt). Определить скорость реакции.
dip duj
1100. Пусть угловая скорость —— = ш, угловое ускорение —— =
dt dt
«V)
= є. Показать, что —-— = 2є.
dp>
§ 2. Теоремы о среднем
1°. Теорема Ролл я. Если f(x): 1) непрерывна на отрезке [а, Ь], 2) имеет производную внутри него, 3) f(a) = f(b), то между а и 6 найдется такое х = с, при котором
