Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
994. у = e^Vl — е2х + arcsin еж.
995. у = ж arccos ж — Vl — х2.
е2х + 1
996. у = arctg е2ж + In у _ .
997. s = \jAt - t2 + 4 arcsin —.
2
998. у = arccos У1 - 2ж + ^2ж - 4ж2.
999. f(z) = (z + 1) arctge~2z; найти /'(0).
§ 7. Производные гиперболических функций
еж _ е-х ех _|_ е-ж
1. Определения. Выражения--,--- и их отношения называются соответственно гиперболическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом и обозначаются
ех — е~х ех + е~х shx chx
sax = -, cn X = -, tli X = ——, etil X = ——.
2 2 cn X shx
2°. Свойства гиперболических функций:
1) Ch2X-Sh2X = 1; 4)sh0 = 0, ch0=l;
2) ch2 X + sh2 X = ch 2x; 5) (sh x)' = ch x, (ch x)' = sh x;
3) sh 2x = 2 sh X ch x; 6) (thx)' = —r>—, (cthx)'
ch2 X ' sh2 ,
118
Гл.6. Производная и дифференциал
Найти производные функций:
1000. 1) у = sh2 ж; 2) у = ж-Ніж; 3) у = 2\/chx - 1.
1001. /(ж) = sh I + ch |; найти /'(0) + /(0).
1002. 1) у = In [сЬж]; 2) у = th ж + cth ж.
1003. 1) у = ж - cth ж; 2) у = In [th ж].
1004. 1) у = aresin [tha;]; 2) у = \/1 + sh2 4ж.
1005. Линия у = —(еж/а + е_:Е/а) = ach — называется цепной.
Написать уравнение нормали к этой линии в точке ж = а. Построить кривую и нормаль.
1006. Написать уравнение касательной к кривой у = sh ж в точке ж = —2. Построить кривую и касательную к ней.
1007. Доказать, что проекция ординаты любой точки цепной
ж
линии у = ach — на ее нормаль есть величина постоянная, рав-a
ная а.
§ 8. Смешанные примеры и задачи на дифференцирование
Найти производные функций:
\/х2 — 1 . 1 tg ж
1008. 1) у =--Ь arcsin —; 2) у =--Ь In cos ж.
ж ж 2
1009. у = \/4х - 1 + arcctg у/Ax - 1.
1010. ж = In (e2f +1)-2 arctg (ef).
1011. у = 41n (Va; - 4) + Vai2 - 4ж.
1012. s = tg4? - ^ tg2t - In (cos і).
ж
1013. /(ж) = (ж2 + a2) arctg--аж; найти f'(a).
1014. 1) у = In
a
a
2-
2) у = ж (cos In ж + sin In ж).
ж — 1
1015. /(ж) = arcsin-; найти /'(5).
1016. <р(и) = e~ula cos —; показать, что <^(0) + а<р'(0) = 0.
9. Производные высших порядков
119
1017. f(y) = arctg - - In {/'у4 - а4; найти /'(2а).
9
COS Z / TT \ / 7Г \
1018. F(z) = --—; показать, что F - - 3F' - =3.
v ' l + sin2^ \4/ \4/
1019. Показать, что функция s = —- удовлетворяет диффе-
t In et
ds 9
ренциальному уравнению t--\- s = —ts.
dt
t — Є
1020. Показать, что функция х = ——— удовлетворяет диф-
dx _,2
ференциальному уравнению t——\-2х = е .
dt
§ 9. Производные высших порядков
Пусть мы нашли для функции у = f(x) ее производную у' = f'(x). Производная от этой производной называется производной второго по-
dx
определяются и обозначаются
d3y
производная третьего порядка у"' = f"'(x) = -^,
dxa
производная четвертого порядка j/IV = /IV(х) = и вообще
dny
производная п-го порядка г/™) = f^nHx) = -.
dxn
1021. Найти производную второго порядка функции:
рядка функции f(x) и обозначается у" или f"(x) или —-. Аналогично
1) у = sin2 ж; 2) у = tgж; 3) у = \J\ + ж2.
1022. Найти производную третьего порядка функции:
1) у = cos2 ж; 2) у = —; 3) у = ж sin ж.
1023. Найти производную третьего порядка функции:
ж
1) у = ж In ж; 2) s = ?е~*; 3) у = arctg —.
1 ,-я- . і d3s
1024. s = —у2 — t2 + arcsin —^=; найти -—-.
2 д/2 dt
Найти производную га-го порядка функции:
1025. 1) е-х1а; 2) In ж; 3) фс.
1026. 1) хп; 2) sin ж; 3) cos2 ж.
120
Гл.6. Производная и дифференциал
1027. Последовательным дифференцированием вывести формулы Лейбница:
(uv)" = u"v + 2u'v' + uv";
(uv)'" = u'"v + Su" v' + Su'v" + uv"';
(uv)IY = uIYv + 4u"'v' + 6u"v" + Au'Vі" + uvw и т. д.
1028. По формуле Лейбница найти производную второго порядка функции:
1) у = ех cos ж; 2) у = ахх3; 3) у = ж2 sin ж.
1029. По формуле Лейбница найти производную третьего порядка функции:
1) у = е_:Е sin ж; 2) у = ж2 In ж; 3) у = ж cos ж.
1030. /(ж) = же*/"; найти /"'(ж), /(п)(ж),
1031. /(ж) = (1 + ж)т; найти /(0), /'(0), /"(0), /"'(0), ... ...,/Н(0).
1032. /(ж) = ; показать, что при га ^ 2
л/1 + ж
^»(0) = (-1)-'1-3-5--;'2-3'..
1
1 "
га! при га = 2т,
1033. /(ж) =---; показать, что
f (71Uo) -
v ' 1O при га = 2m - 1.
Указание. Применить тождество 1 1/1
1-х2 2 \1 + г 1-х
1034. Продифференцировав тождество (ж — 1)(ж2 + ж3 + ... ... + хп) = хп+1 — ж2 три раза по ж и положив затем ж = 1, найти
А , /, ч (^ + 1)га(га - 1) сумму к (к — 1) = - и затем сумму квадратов
к=1 3
чисел натурального ряда
EП , 9 9 9 9 rafra + 1) (2га + 1) /г2 = I2 + 2 + ... + га = V А- 6
к=1
1035. Найти производную второго порядка функции:
2 Ж
1) у = е_:Е ; 2) у = ctg ж; 3) у = arcsin —.
§10. Производная неявной функции 121
1036. Найти производную га-го порядка функции: l)y = ax; 2)y=Y^2x'} 3) у = sm2x.
1037. /(ж) = arcsin ; найти /(2), /'(2) и /"(2).
1038. По формуле Лейбница найти производную третьего порядка функции:
ж
1) у = х3ех; 2) у = X2 sin —; 3) у = xf'(a — ж) + 3/(а — ж).
