Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Минорский В.П. -> "Аналитическая геометрия на плоскости" -> 43

Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.

Минорский В.П. Аналитическая геометрия на плоскости — М.: МГТУ, 1997. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): analitgeometr1997.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 100 >> Следующая

sin ж
§ 2. Интегрирование подстановкой и непосредственное
Положив X = <p(u), dx = Lp'(u) du, получим
f(x)dx= [ f[tp(u)]tp'(u)du. (
Такое преобразование интеграла называется интегрированием подстановкой.
В простых случаях введение новой переменной и рекомендуется выполнять в уме, применяя следующие преобразования дифференциала dx:
dx = — d(ax + Ъ); 2х dx = d(x2); cos X dx = rf(sin x); — = <i(ln x) и т. п.,
и обозначая мысленно выражение в скобках через и. Такой прием интегрирования называют непосредственным.
Найти интегралы:
1279. J cos Зж dx. 1280. J sin - dx.
Указание. Задачу 1279 можно решить двумя способами: 1) положив Зх = и, X = и/3, dx = du/3; 2) приведя интеграл к виду
— J cos Зх d(3x).
; 2. Интегрирование подстановкой и непосредственное 143
С dx
1281. / e~3xdx. 1282.
cos2 5а
1283. J (V/2 + е"-/2) dz. 1284. У л/4ж - ldx.
1285. J(3-2x)4dx. 1286. У л/5 - бжйж.
f dx f
1287. / 1288. sin (a-bx)dx.
J л/3 - 2ж J
/2ж — 5 f X dx —-йж. 1290. / —-. xz — 5ж + 7 J іЧІ
Указание. Задачи 1289-1298 решаются по формуле
и' с?ж /" du ^
- = In \u\ + С,
т. е. если числитель подынтегральной дроби есть производная от знаменателя, то интеграл равен логарифму знаменателя.
dx f е2х dx
1291. / -. 1292.
1 - 10ж" -¦Ji- Зе2х'
1293. I ctexdx. 1294. f texdx.
cos 2ж , f sin ж <іж
1295. /--dx. 1296.
sin ж cos ж 7 1 + 3 COS
. cos ж C dx
1297. /---<іж. 1298.
1 + 2зіпж 7 ж(1 + 1пж)
1299. / sin2 ж cos ж dx. 1300. /" cos3 ж sin ж <іж.
Указание. Задачу 1299 можно решить подстановкой sin ж = и или непосредственно, заменив cosxdx через d(smx).
, cos X dx f sin ж <іж
1301. I —г-—. 1302.
sin ж
1 — 2 cos ж
1303. / -;—^-dx. 1304. / sin ж cos ж аж.
sin ж
144
Гл.8. Неопределенный интеграл
1305. / ecosxsmxdx. 1306. / ех х2 dx.
Указание. Задачу 1306 можно решить подстановкой х3 = и или непосредственно, заменив х2 dx через -d(x3).
, J2 I dx
1307. / е~х xdx. 1308.
1309. J \/х2 + Ix dx. 1310. J \Уж3 - Sx2 dx.
Указание. Задачу 1309 можно решить подстановкой х2 + 1 = и или непосредственно, записав интеграл в виде — J(х2 + I)1/2 d(x2 + 1).
/х с1/Х f* X dx
„, 1312.
лУГ+Т3' J лД
/sin X dx f л/1 + In X dx
. 1314. /---. л/1 + 2 cos X Jx
1315. 1316. /УГГёА^.
Найти интегралы:
1317. І (ех + е~х)2 dx. 1318. / sin^zcoszcto.
Г dx f
1319. / , 1320. cos(a-bx)dx.
1321. У л/і + Зжйж. 1322. У \Уі - 2ж3ж2гіж.
/ж <іж [1 — 2 sin ж ,
; 1324. / ---dx. л/1 + ж2 J cos ж
/1 + sin 2ж , f
—г^-dx. 1326. / е^совжаж. sin ж J
f X2 dx f dx
1327. / --. 1328.
1 — ж3 J (a — bx)3
: 3. Интегралы специального вида 145
§ 3. Интегралы вида
2± 2' V 2 - 2' ^^Т"
и к ним приводящиеся 1329. Показать, что:
/СІХ 1 X
—-- = — arctg —Ь С, положив ж = atgi; а2 + ж2 а а
/а*Ж ж
= = arcsin —Ь С, положив ж = а sin t; \Ja2 - ж2 а
V і dx 1
3 / ~2-2 = ІП
Xі — az Za
ж — а
+ С, разложив
+ a \
la + ж + а — ж 1/ 1 1
ж2 — а2 2а ж2 — а2 2а \ ж — а ж + а
I-
: = In \х + у ж2 + к\ + С, положив л/^2 + A; = ?-
. f* dx ¦ f* dx
1330. 1) / -—-; 2)
2 - 25' 7 7 ж2 + 9'
V ж dx V dx
1331' 1/1 ' Уї^2' У л/х^Тъ
¦ м dx ¦ f* dx
1332. 1) -==; 2)
. , dx ¦ f* X dx
1333. 1) -==; 2)
^5^2' У 4 +
б'
. м X dx ¦ f* dx
1334. 1) -===; 2)
V3^7' 7 7 6?2-а2'
. . dx ¦ f* X dx
1335. i) -===; 2)
V3 - 4ж2 ' ' J Vx~^l~
і 5ж — 2 , . /" Зж — 4 , 1336.1) / —-аж; 2) / —-аж.
7 ' -2 +4 ' ' J ж2 - 4
ж + 1 /" ж + 1
1337.1) / ' аж; 2) / ' dx.
146
Гл.8. Неопределенный интеграл
/х dx f* х dx
—-. 1339.
ж2 + 1
Указание. В задачах 1338, 1339 нужно из подынтегральной неправильной дроби исключить целое выражение.
dx f dx
1340. / —-. 1341.
+ 4ж + 5 J ж2 + 6ж + 13
Указание. В задачах 1340-1347 нужно из квадратного трехчлена выделить полный квадрат.
dx f dx
1342. / =. 1343.
л/ж2 + 2ж + з' У л/1-2
dx f dx
1344. / , 1345.
л/4ж - ж2 ' У ж2 + 3ж + 3
, dx f* dx
1346. I =. 1347. / ;
л/2 + Зж - 2ж2 7 л/Зж2 - 2ж -
Найти интегралы:
1348. / ( -A- + -^— ) dx.
+ 3 ж^ — 3/
1349. / I , 1 + , 1 ) dx.
УлД^2 лДТ^2/
, 4ж — 5 , f X2 dx
1350. / —г-dx. 1351.
с + 5 J X2 -2
, ж4 б?ж /" еж 6?Ж
1352. / —-. 1353.
С2 + 2' J л/1 - е2-
_ dx f* dx
1354. / —-. 1355.
с4+ 0,25' ' J ж2 + 4ж + 29'
, dx f* dx
1356. / —-. 1357. / =.
с2-2ж + 5 У л/5 - 4ж - ж2
_ X dx f* dx
1358. / —-. 1359.
+ ж + 1 У л/4ж2 + 4ж + 3
4. Интегрирование по частям
147
§ 4. Интегрирование по частям
Из формулы дифференциала произведения d(uv) = u dv + v du получается формула интегрирования по частям
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed