Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Минорский В.П. -> "Аналитическая геометрия на плоскости" -> 44

Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.

Минорский В.П. Аналитическая геометрия на плоскости — М.: МГТУ, 1997. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): analitgeometr1997.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 100 >> Следующая

и dv = uv — I V du
Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функций, например J х2ех dx или J х21пх dx. При этом за и принимается функция, которая дифференцированием упрощается, а за dv — та часть подынтегрального выражения, содержащая dx, интеграл от которой известен или может быть найден.
Из трансцендентных функций за и обычно принимаются In х, arctg х и arcsin х.
Например, в интеграле J x2lnxdx за и нужно принять In ж (а не ж2), а в интеграле J х2ех dx за и нужно принять ж2 (а не ех).
Найти интегралы:
1360. flnxdx. 1361. Ixln(x-l)dx.
1362. I xe2xdx. 1363. I xarctsxdx.
1364. J x2cosxdx. 1365. J exsmxdx. 1366. Показать, что
\JX2 + к dx = — \x\JX2 + к + к In (ж + \J(ж2 + к))] + С.
Найти интегралы: 1367. J(Inxfdx. 1368.
f In ж dx f arcsin ж dx
1369. / -—. 1370.
sin2 ж
Vl + X
1371. I arcsinж dx. 1372. / x3e~x dx.
1373. J ш(ж2 + 1)бЬ. 1374. J cos (In ж) tb.
148
Гл.8. Неопределенный интеграл
Найти интегралы:
1375. J y/xlnxdx. 1376. J х2е~х/2dx.
С fx dx
1377. / arctgzcto. 1378.
, „. , , aresin (х/2) , 1379. / excosxdx. 1380. / -, v 1 ' dx.
л/2"
/х cos X dx f і- , -5-. 1382. / arctgV2a; -ldx. sin X J
§ 5. Интегрирование тригонометрических функций
1°. Интегралы от квадратов и других четных степеней синуса и косинуса находят, применяя следующие формулы понижения степени:
. 2 1 — cos 2х 2 1 + cos 2х . sin 2х
sin X = -; cos X = -; sin ж cos ж = -.
2 2 2
2°. Интегралы от кубов и других нечетных степеней синуса и косинуса находят, отделяя от нечетной степени один множитель и полагая кофункцию равной новой переменной и.
Интеграл J cos™ ж sin" ж с?ж находится по правилу 1°, если тип оба четные, и по правилу 2°, если га или и нечетно.
Найти интегралы:
1383. Js'm23xdx. 1384. J(1+ 2cosx)2 dx.
1385. У (1 - sin2a;)26b. 1386. У cos^tb.
1387. /1.W**. 1388. /•sinW
1389. у sin2 ж cos4 ж <іж. 1390. у зіп5ж<іж. 1391. UW**. 1392. L'.cW,*.
1393. lcos7xdx. 1394. / (1 + 2 cos ж)3
cos3 ж dx f sin3 ж <іж
1395. I ——-. 1396.
sin ,
:5. Интегрирование тригонометрических функций 149
dx f sin2 X + cos2 X ,
1397. I--= / -г—-dx=?
sm 2x J 2 sm x cos ж
. , dx ¦ f* dx
1398. 1 /--: 2
sm ж / cos
, cos ж + sin ж , f dx
1399. / -—-аж. 1400.
sin 2ж J sin ж — cos ж
1401. у tg3xdx. 1402. j ctg3xdx.
Указание. В задаче 1401 положить tgx =t, х = arctgt.
1403. У sin Зж cos ж <іж. 1404. j cos mi cos гаж dx.
Указание. В задачах 1403-1406 применить формулы sin a cos ? = і [sin (а + ?) + sin (а — ?)~\,
cos а cos ? = \ [cos (а + ?) + cos (а — ?)~\,
21
1 і 2
sin а sin ? = \ [cos (а — /3) — cos (a + /3)].
1405.1) J sin Зж sin 5ж dx; 2) ^ sin тож sin nx dx.
1406. / sin ( 5ж - П ^ ,
cos ж + — ^ <ІЖ.
1407. Интегрируя по частям, вывести формулы «понижения степени»:
/I п — і г sin™ X dx =--cos ж sinn_1 ж H--/ sin""-2 ж <іж; га п J
/I п — і г cos™ X dx = — sin ж cosn_1 ж H--/ cos""-2 Ж <ІЖ га п J
и по этим формулам найти: 1) J sm6 х dx; 2) J cos6xdx.
)f* dx V f* dx / -ч—) 2) / -5—.
J sin ж J cosJ ж
dx
Указание. Применить формулы задачи 1407 к интегралам dx
и
150
Гл.8. Неопределенный интеграл
Найти интегралы:
1409. J(1 + Зсо8 2ж)2ож. 1410. J sin4 ж (к. 1411. А». W**. 1412.
1413. /ShvWI(b. 1414./(1 + 28І„.г^Ь.
/(sin ж — cos ж)2 f . . -:-аж. 1416. / sin Зж sin ж аж. sin 2ж j
f sin3 ж + 1 I ¦ f 71Л
1417. / ---аж. 1418. / sin ( ж H--cos ж аж.
j cos^ ж J \ 6 /
§ 6. Интегрирование рациональных алгебраических функций
1°. Если подынтегральная дробь неправильная, то нужно исключить из нее целое выражение.
2°. Знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида (х — а)а и (ж2 + рх + q)13, а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:
Р(х) A1 , A2 Аа
(ж — а)а(х2 + рх + q)? ... X — а (ж — а)2 (ж — а)а
M1X+ N1 M2X+ N2 M?X + N?
X2 + рх + q (х2 + рх + q)2 (ж2 + рх + q)?
где Р(х) — полином степени ниже степени знаменателя. Найти интегралы:
-dx; 2) / —--dx; 3) / -5-^ dx.
X — 2 J xz + a2 J хЛ — аЛ
x-A , f 2x + 7 , 1420. /-----dx. 1421. / —--dx.
(ж-2)(ж-3) J X2 + X -2
. Зж2 + 2ж - 3 , Г (ж + І)3 ,
1422. / -4--dx. 1423. / v 9 ' dx.
, X + 2 /" Зж — 2а , 1424. / -^—^-- аж. 1425. / —-- dx.
6. Интегрирование рациональных алгебраических функций 151
Г 2х2 - 5ж + 1 , Г 5х - 1
1426. / —-—dx. 1427. / —-dx.
J хЛ — 2х2 + ж J xd — Зх — 2
Г 5ж + 2 , Г 4ж-2,4
1428. / —--dx. 1429. / —---dx.
J ж2 + 2ж + 10 J ж2-0,2ж + 0,17
Указание. В задаче 1428 выделить в знаменателе полный квадрат и затем положить х + 1 = t.
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed