Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
3°. Неопределенности 0- СО, CXD — со, 1°° и 0° сводятся к не-0 CXD
определенностям - и — путем алгебраических преобразований.
0 CXD
Найти пределы:
sin Зж ех — 1 1122. Hm -. 1123. Hm--.
ж-»о ж ж-»о sm 2ж
1124. Hm -. 1125. Hm
х—)а
an ж-и In ,
1 — cos ax 1 — cos;
1126. Hm -—. 1127. Hm
)0 1 - cos bx 27-)0
X — sin Ж tg Ж — sin ;
1128. Hm---. 1129. Hm
27-)0 Xo 27-)0 ж — sm;
ИЗО. 1) Hm ; 2) Hm . 1131. Hm —.
27—)+оо а; 27—)—оо а;-1* 27—)оо а;
In ж ,. tg ж
1132. Hm -. 1133. Hm
27-)0 ctg ж 27-)71-/2 tg За
132
Гл.7. Приложения производной
1134. Hm (тт — x)tg—. 1135. Hm х In х.
X —>7Г 2 Ж—>0
1136. Hm жп-е-ж. 1137. lim ж27.
х—> + оо ж—>0
1138. lim (sina:)tg:E. 1139. Hm (1 + -
ж->0 x^tco у Ж
1140. Определить порядок бесконечно малой хех — sin ж относительно ж —т- 0.
1141. Доказать, что при ж —> 0:
Ж3 (2
1) ж — arctg ж Si —; 2) ах — Ьх к, ж In —;
3) е2ж - 1 - 2ж и 2ж2; 4) 2ж - In (1 + 2ж) и 2ж2.
1142. Доказать, что (при ж —> 0) ж — sin ж и — и отсюда sin ж и
6
Pa X с погрешностью, приближенно равной ж3/6. Вычислить sin 1° и sin 6° и оценить погрешность.
1 а2
1143. Доказать, что (при а —> 0) л/Д + а — 1 — -а и--
3 9
Я/- 1 °2 Ti
и отсюда л/1 + « й H—а с погрешностью и —. Вычислить
3 9
Vi, 006, лУО, 991, л/65, л/210 и оценить погрешность.
Найти пределы:
еах — еЪх , ж —arctg;
1144. Hm -:-. 1145. Hm 6
ж->о sm ж ж-»о
„з
1 — sin ах ах — Iх
1146. Hm--—. 1147. Hm -,
ж->тг/2а (2аж — тт)г х^о tga;
1 — 2 sin ж 1 — tg
1148. Hm -. 1149. Hm
х^,ж/6 СОвЗж ж->тг/4 COS 25
є2^ — 1 In ж
1150. Hm —--. 1151. Hm
г^О In (1 + 2ж)' ' х-И 1 - ж3 '
1152. Hm (1 - e2x)ctgx. 1153. lim г1/!1"1).
х^О
1154. Hm (—г---W 1155. Hm (е2х + х)11х.
ї-Ю ж^у ж->0
тт • ж3
1156. Доказать, что при ж —> 0 arcsin ж — ж и —.
6
4. Возрастание и убывание функции
133
1157. Доказать, что (при a —> 0) Vі + а— 1— — ~--и
2 8
,- a a2
отсюда Vі + a ~ 1 H— с погрешностью, приближенно равной —.
2 8
Вычислить у/ЦШ, уД^Ш, VO7998, \/0~7994, у/65, у/85 и оценить погрешность.
§ 4. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум
1°. Определения:
I. Функция f(x) называется возрастающей в точке хо, если в некоторой є-окрестности этой точки
f(x0 - К) < f(x0) < f(x0 + h)
при любом положительном h < Є.
П. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [а, Ь], если для любых х\ и Х2 на этом отрезке f(x\) < f(x2), когда х\ < х^.
Аналогично определяется убывание функции в точке и на отрезке.
III. Функция f(x) называется имеющей экстремум (максимум или минимум) в точке Xo, если f(xo) является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой двусторонней окрестности этой точки.
2°. Достаточные признаки возрастания и убывания функции у = f(x) (в точке и на отрезке):
если у' > 0, то функция возрастает; если у' < 0, то функция убывает.
3°. Необходимое условие экстремума. Функция у = f(x) может иметь экстремум только в точках, где у' = 0 или не существует. Такие точки называются критическими. В них касательная или горизонтальна (y' = 0), или вертикальна (в точке возврата), или нет определенной касательной (например, в угловой точке). В двух последних случаях у' не существует.
4°. Достаточные условия экстремума. Если функция/(ж) непрерывна в точке Xo и имеет в некоторой окрестности Xo, кроме, быть может, точки Xo, конечную производную и если при переходе X через Xo'.
у' меняет знак с + на -, то f(x0) = утах,
у' меняет знак с — на +, то f(xo) = J/min,
у' не меняет знака, то экстремума нет.
Третий случай имеет место в обыкновенной точке (при у' > 0 или у' < 0), а также в точке перегиба и в угловой точке. Итак, чтобы найти экстремум функции, нужно:
1) Найти у' и критические точки, в которых у' = 0 или не существует.
2) Определить знак у' слева и справа от каждой критической точки, составив таблицу, например, вида
134
Гл.7. Приложения производной
X
У
О
+
Х2
не существует
Xs
о
Даже можно найт:
построер
Vinax/H
и построить
ста
кривую! На рт|с. 28 зіше таСЗ^ще. ' 0_ш*Ъ1 е ^5У^л
экстремума (второй способ !^следования'
Если в некоторой точке X
убывает
b7H я
убываем
перегиб
1) у1 = О, а у" < 0, то f(x0)
О, а у" > О, то /(ж0) =
О, то вопрос стается !нерешенным и нужно обра-иться к первому способу исследова-
I
О 1158. 1)Й=ж2; 2) у = ^2 3) у^З-; 4?=?,
1159. 1) у = tgz; 2)у = ех; 3) у = 4ж - ж2. Найти экстремум функции и построить ее график1):
1160. у 1162. у
1164. у 1166. у
1168. у 1170. у
;2 + 4ж + 5.
/ж2 - 1.
u2 - Qx + 13
1_ ^(ж-4)2.
1161. у = 4ж 1163. у
1165. у 1167. у
1169. у 1171. у
3
1 + 2ж2
ж 2
2 + ж' 1
1 + ж2'
ж2(1 - а
е
!) В задачах 1165, 1168, 1173 и некоторых других для построения кривой нужно найти ее асимптоты (см. гл. 5, § 9).
Возрастание и убывание функции 135
1172. у = ж + cos2ж в интервале (0, тт).
/ 7Г 7Г\
1173. X = Ax — tgx в интервале —, — J .
1 + In X
1174. у = -. 1175. у = X — arctg2s.
