Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
В 1906 г. Фату [4, с. 398], установив, что существуют тригонометрические ряды со стремящимися к нулю коэффициентами, которые расходятся на всюду плотном множестве нулевой меры, поставил вопрос о возможности существования подобных рядов, которые расходились бы на множестве положительной меры. Он
174
высказал предположение, что такие ряды существуют, но доказать это не сумел. На вопрос Фату утвердительный ответ дал в 1912 г. Лузин, построив пример тригонометрического ряда со сходящимися к нулю коэффициентами, но расходящегося почти всюду. Тогда же Штейнгауз, преобразовав пример Лузина, получил пример подобного ряда, расходящегося уже в каждой точке. Интересно, что ни сам Лузин, ни Штейнгауз, и долгое время остальные математики, занимавшиеся этим вопросом, не заметили, что у построенного Лузиным в той же работе расходящегося всюду степенного ряда действительная и мнимая части представляют собой расходящиеся всюду тригонометрические ряды со стремящимися к нулю коэффициентами. Это только в 1951 г. обнаружил С. Б. Стечкин.
Знаменитый пример Меньшова тригонометрического ряда с отличными от нуля коэффициентами, но сходящегося всюду к нулю (1916 г.), на первый взгляд меньше связан с проблематикой французов. Действительно, проблемой единственности тригонометрического разложения, восходящей к Кантору (1870— 1872 гг.), занимались многие математики23, но преимущественно не французские. Лебег, как мы говорили (с. 71), высказав в 1902 г. неверное утверждение, что множествами единственности являются произвольные замкнутые множества пулевой меры, в следующем году исправил его, заменив указанные множества приводимыми. Интересно, однако, то, что предшествующее утверждение он считал тогда не неверным вообще, а рассматривал только как не доказанное (12, с. 466, сноска], полагая, по-видимому, что теорема единственности справедлива, если множеством исключительных точек является любое множество нулевой меры. Такого утверждения, кажется, не содержалось в работах Лебега, но уверенность, что оно справедливо, наверно, существовала и у Лебега, и у других математиков. Для этой уверенности основания были: исследования первых полутора десятилетий показали, что множествами меры нуль можно было пренебрегать в самых разных вопросах метрической теории функций, в том числе некоторыми классами их в проблеме представления функций тригонометрическими рядами, и Лузин в 1915 г., опираясь иа результаты Кантора (1872 г.) и У. Г. Юнга (1909 г.) 2\ прямо написал о маловероятное™ утверждения, что произвольное множество меры нуль не является множеством единственности. Тем неожиданнее был пример Меньшова. Этот пример, помимо связи его с указанными соображениями Лебега, примыкает к проблематике французов и потому, что в нем речь .идет о сходящемся почти всюду три-
23 См. Паплаускас [1, с. 215—235].
24 К которым можно было бы добавить лебеговский результат 1903 г. о приводимых множествах, передоказанный в 1907 г. Гобсоном, хотя и перекрытый теоремой У. Г. Юнга о том, что всякое счетное множество является множеством единственности, но дававший лишний довод в пользу утверждения Лузина,
175
гонометрическом ряде, а подобная сходимость сложилась преимущественно в их трудах. Вместе с тем значение его заключалось и в том, что он приводил к мысли об ограничении некоторого засилья теоретико-мерного метода, столь широко применявшегося французами, особенно Лебегом: в такой важной задаче теории функций, как единственность разложения функции в тригонометрический ряд, метод меры не приводил к цели.
Еще более, пожалуй, чем в случае примера Меньшова, связь изысканий русских и французских ученых, а наряду с этим отход от некоторых общих установок последних проявились в изучении суслинских и проективных множеств.
Напомним предшествующую ситуацию. Борель и Бэр ограничились изучением 5-множеств ,и ?-функций. Подходы Лебега, Фату, Фреше, Данжуа были более общими, но их соображения очень во многом связаны с аксиомой Цермело и траисфинитиы-ми числами. В описанной ранее полемике применение рассуждений, основанных на этих допущениях, ставилось под сомнение, а полученные с их помощью результаты объявлялись неэффективными, и истинными функциями и множествами преимущественно считались только те, которые получались и изучались без них. Лебег, построив в 1905 г. первый пример функции, не входящей в классификацию Бэра, не убедил других (да, видимо, и себя), что подобные функции заслуживают детального изучения, поскольку его построение опиралось на совокупность всех трансфи-иитных чисел второго числового класса, и хотя такие функции и множества фактически интенсивно изучались 2\ но у большинства математиков не было уверенности, что объекты этого изучения окажутся полезными. Истинными множествами и функциями считались 5-множества и 5-функции, а что сверх того, то в некотором смысле рассматривалось, как забава ума.
П. С. Александров в 1916 г. изучая вопрос о мощности боре-левских множеств, ввел Л-операцию над множествами, не опирающуюся на трансфиниты и являющуюся эффективной в указанном смысле. В следующем году М. Я. Суслин, анализируя ошибку Лебега 1905 г., состоящую в утверждении, что проекция плоского 5-множества на прямую является линейным 5-множе-ством, при помощи Л-операции построил эффективный пример точечного множества, не являющегося 5-множеством, и вместе с тем выделил класс Л-множеств, включающий в себя 5-множе-ства как частный случай. Тем самым был открыт целый мир множеств (и функций), значительно более обширный и тем не менее доступный эффективному изучению, чем сразу же занялись Лузин, Серпинский, а затем и многие другие, но — и это любопытный факт — не французы.
