Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Медведев Ф.А. -> "Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв" -> 87

Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.

Медведев Ф. А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв — Новосибирск: «НАУКА», 1976. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): franchuzkaya-shkolf-teorii-funkciy.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 116 >> Следующая


28 См. Л В. Келдыш [1].

178

Интеграл Данжуа помог решить ряд задач теории функций (отыскание примитивной по конечной производной, вычисление коэффициентов рядов Фурье при более широких условиях, чем при применении интеграла Лебега и т. д.), но вместе с тем оказался недостаточным в ряде других вопросов: не позволял восстанавливать примитивную в более общих ситуациях, не давал возможности определять коэффициенты сходящихся тригонометрических рядов, когда функция была не интегрируема по Данжуа и т. п. К тому же в конструкцию этого интеграла прочно входили «подозрительные» траисфинитные числа. В 1915 г. проблемой обобщения понятия интеграла занялся Лузин (фактически, конечно, раньше; мы, как и в других местах, приводим дату публикации соответствующей работы, если ,не оговорено противное), чему посвящена значительная часть его диссертации «Интеграл и тригонометрический ряд». В общем Лузину здесь не удалось сформулировать новое понятие интеграла, но в теории интегрирования (и далеко не только в ней) он получил весьма важные результаты, послужившие исходными пунктами многочисленных последующих изысканий большого числа математиков.

При анализе борелевского интеграла Лузин модифицировал его, заменив в предложенной Борелем конструкции римановские суммы лебеговскими. Он показал, что интеграл этого типа будет не общее интеграла Данжуа, но предположил, что он будет эквивалентным последнему. Это предположение импонировало ему тем, что, в то время как в конструкции интеграла Данжуа входят трансфинитные числа, в предложенной им модификации борелевского определения они не содержались. Поскольку же применение трансфинитных чисел осуждалось отдельными математиками, то в случае предположенной Лузиным эквивалентности определение типа Бореля приобретало бы немаловажный интерес. Однако в следующем году ученик Лузина, Д. Е. Меньшов, показал, что существуют функции, интегрируемые по Данжуа, но не интегрируемые по Борелю.

В том же 1916 г. другой ученик Лузина, Л. Я. Хинчин, сделал нечто существенно большее. Проанализировав способ определения интеграла, предложенного Данжуа, и сняв ,некоторые ограничения, наложенные последним на условия существования, Хинчин получил чрезвычайно общее определение интеграла, включающее в себя интеграл Данжуа 1912 г. как весьма частный случай. В этом он несколько опередил Данжуа, который сам пришел к тому же понятию, называемому теперь часто интегралом Данжуа— Хинчина.

Опередил Хинчин Данжуа и во введении асимптотического или аппроксимативного дифференцирования. Свое определение асимптотической производной Хинчин предложил в 1914 г.; в 1915 г. его опубликовал Лузин; затем, введя новое определение интеграла в 1916 г., Хинчин связал эти две операции друг с другом, а еще через год изучил свойства нового дифференцирования

179

более подробно. Соответствующую аппроксимативную производную Данжуа ввел в 1916 г., тут же связав ее со своим новым определением интеграла, а затем в 1916—1917 гг. детально изучил эти две операции в их взаимосвязи. Оба автора возвращались к тем же вопросам и впоследствии, но у них уже не было столь близкого совпадения в полученных ими научных результатах.

В начале столетия русские математики развивали и применяли понятие интеграла Стилтьеса. Французы не обращались к нему до 1910 г., но затем сразу поднялись до интеграла Фреше (1915 г.). На новый путь подхода к общему понятию интеграла как предела сумм вслед за Бёркилем, но в более абстрактной форме, вступили Колмогоров (1930 г.) и Гливенко (1936— 1937 гг.), создав концепции интегрирования значительно более общие, чем интегрирование по Фреше.

Так что, как и в случае с английскими математиками, мы можем сказать, что в разработке теорий интегрирования математики России, а затем СССР не только стали достойными соперниками французов, но превзошли их в ряде отношений.

Подобное описание, как и для развития теории функций в Англии, можно было бы продолжать очень долго даже в пределах второго десятилетия XX века. Ограничимся лишь еще двумя примерами.

Мы не раз имели возможность отметить значительную роль, которую играла теорема Дюбуа-Реймона о существовании функции, растущей быстрее любой функции заданной последовательности все более быстро возрастающих функций, как в чисто математических исследованиях Бореля, так и в его общих взглядах. Вместе с тем указывалось на отрицательное отношение Бореля к аксиоме произвольного выбора. Вскрытие В. В. Степановым (1918 г.) того факта, что при действительном построении предельной функции Дюбуа-Реймона вообще приходится прибегать к аксиоме Цермело, явилось еще одним свидетельством неувязок общих установок Бореля с его конкретными математическими исследованиями.

И в заключение параграфа несколько слов о работе Фихтен-гольца «Определенные интегралы, зависящие от параметра» (1913 г.). Она интересна, в частности, тем, что автор, зная о соответствующих результатах французских и английских авторов (Борель, Лебег, Харди, У. Г. Юнг, Гобсон), все же в большей мере отталкивался от работ Арцела более раннего периода. Основным вспомогательным средством для него явилась упоминавшаяся (с. 166) лемма Арцела, но не в той обобщенной форме, которую ей придали Борель и У. Г. Юнг, а в некотором промежуточном виде между формулировками Арцела и Бореля — Юнга. Здесь же (кажется, впервые) отмечено, что теорема о возможности почленного интегрирования функционального ряда с равномерно ограниченными остатками принадлежит Арцела (для интеграла в смысле Римана). Любопытна эта работа и тем, что
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 116 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed