Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
172
Тем не менее решающим фактором подъема теоретико-функциональных исследований' в России — если исключить труды Бернштейна по конструктивной теории функций, явившиеся непосредственным продолжением чебышевского направления, — стало воздействие трудов французских ученых.
Это воздействие было непосредственным, так как основоположники московской школы теории функций и множеств — Дмитрий Федорович Егоров (1869—1931) и Николай Николаевич Лузин (1883—1950) —в работах по теории функций и множеств отталкивались от трудов французов. Егоров и Лузин сразу же включились в разработку, если можно так выразиться, французской тематики и увлекли за собой своих младших коллег и учеников: Вячеслава Васильевича Степанова (1889—1950), Ивана Ивановича Привалова (1891 —1941), Дмитрия Евгеньевича Меньшова (р. 1892 г.), Александра Яковлевича Хинчина (1894— 1959), Михаила Яковлевича Суслина (1894—1919), Павла Сергеевича Александрова (р. 1896 г.) 11. Во втором десятилетии нынешнего века они опубликовали около полусотни интересных работ по теории функций и множеств, включая фундаментальную лузинскую диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд» (1915 г.).
Первыми знаменитыми результатами московской школы теории функций и множеств явились теоремы Егорова (1911 г.) и Лузина (1912 г.).
Мы уже отмечали (с. 155), что еще в 1903 г. Лебег сформулировал обе эти теоремы (а последнюю в том же году и даже двумя педелями ранее опубликовал Борель) и что их почти доказали соответственно Северини (1910 г.) и Витали (1905 г.). Тем не менее в математической литературе они называются по фамилиям русских математиков, и это во многом справедливо, так как Егоров и Лузин не только дали развернутые доказательства и глубже осознали значение этих теорем, но — и это главное — выявили чрезвычайно широкий диапазон их применений в самых разнообразных вопросах теории функций. Так, Егоров подсказал Лузину идею применения своей теоремы для установления С-свойства измеримых функций. В свою очередь, Лузин применил С-свойство для получения другого фундаментального результата, а именно: что для всякой измеримой конечной почти всюду функции f(x) существует непрерывная функция, имеющая /(*) своею производной почти всюду (1912 г.). Он же воспользовался теоремой Егорова для доказательства стремления к нулю коэффициентов тригонометрического ряда, сходящегося на множестве положительной меры, а также одновременной сходимости абсолютных величин членов тригонометрического ряда и абсолютных величин его коэффициентов (1912 г.), а из своей теоремы вывел обобщение на и?меримые почти везде конечные функции те-
22 Вместе с ними той же проблематикой занялся В. К Серпинский.
173
оремы Вейерштрасса о представлении непрерывных функций многочленами (1912 г.) и т. д. С тех пор диапазон применений теорем Егорова и Лузина все рос как в исследованиях российских, так и иностранных ученых.
В какой мере Егоров и, особенно, молодой Лузин пришли независимо к этим фундаментальным положениям теории функций, сказать трудно. Можно предполагать, что Егоров знал о формулировках Лебегом этих теорем в заметке [11]. Действительно, указанная заметка Лебега выросла из лебеговских лекций 1902— 1903 гг., которые как раз слушал Егоров; ее Лебег цитировал не раз в своих других работах, в частности в «Лекциях по тригонометрическим рядам» [24, с. 10], а Егоров, доказывая свою теорему, ссылался на названные «Лекции» и притом именно на ту же самую страницу, хотя и в другой связи — на теорему о сходимости по мере, но и Лебег сформулировал «теорему Егорова» как следствие той же теоремы [11, с. 1229].
На вопросы о том, почему Лебег, понимавший важность этих теорем, особенно теоремы Лузина, еще в 1903 г., не стал ни пользоваться ими в своих трудах, ни претендовать на приоритет, как это не раз делал в других случаях, можно (разумеется, предположительно) ответить так. Лекции Лебега 1902—1903 гг. знал Борель, о С-свойстве у них была переписка до публикации соответствующих их формулировок его, но Борель чуть опередил Лебега, и последнему при печатании заметки [11] пришлось сослаться на заметку Бореля [27], признав — быть может, против своего желания — первенство Бореля в установлении С-свойства. Но вскоре между ними сложились напряженные отношения, вылившиеся после 1910 г. в довольно непривлекательную полемику, в частности приоритетного характера в отношении меры и интеграла, в которой Борель, помимо прочего, упрекал Лебега и в том, что тот слишком часто выступает с приоритетными претензиями. Применять С-свойство и теорему Егорова со ссылкой на свою заметку [11] означало для Лебега вместе с тем необходимость признавать заслугу Бореля в установлении С-свойства. После же обвинения в пристрастии к приоритетным претензиям выставлять их еще раз и к новым авторам было бы не очень удобным. Так это было или нет — теперь судить трудно.
В начале 10-х годов XX в. в исследованиях по теории функций и множеств выявились многие нерешенные проблемы, одни из которых были явно сформулированы, а другие проявлялись при более тщательном анализе. Названные выше математики России решили немало таких проблем и в свою очередь поставили немало других. Укажем несколько примеров.
