Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
170
появления соответствующего определения Дирихле18. В теории функций важную роль играет неравенство
У (х) ф (х) dx < J /2 (х) dx J ф2 (л:) dx.
a Ja а
В подавляющем числе работ его называют неравенством Шварца, хотя за четверть века до соответствующей публикации последнего это неравенство было получено Буняковским (1859 г.) 19. Заслуживает упоминания и некоторое развитие им (1846 г.) указанного выше подхода Остроградского к понятию интеграла.
Конструктивная теория функций в смысле Чебышева — Берн-штейна является настолько самостоятельным разделом теории функций действительного переменного, что к ней неприменима та периодизация развития последней, которой мы пользовались в настоящей работе. Она тоже вырастала в рамках классического анализа, в малой мере прошла теоретико-множественный этап, чуть ли не сразу перейдя в период, когда в ней стали использоваться методы функционального анализа. Это, отчасти, естественно в силу ее проблематики, так как основным объектом ее изучения являются непрерывные функции.
Сама проблематика чебышевской теории восходит к трудам французов — Лапласа, Фурье, Понселе. Но именно начиная с работ Чебышева (1854—1882 гг.), продолженных трудами Е. И. Золотарева, А. А. Маркова, В. А. Маркова и др.2°, конструктивная теория функций выросла в ранг самостоятельной дисциплины. Здесь правильнее будет говорить о влиянии идей русских ученых на французов. Уже в 1864 г. Бертран включил в свой «Трактат по дифференциальному исчислению» ряд результатов Чебышева; от работ последнего отталкивались Борель (1905 г.), Фреше (1907—1908 гг.) и др. Один из новых сильных толчков развитию конструктивной теории функций дало своеобразное доказательство Лебегом (1898 г.) теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной функции многочленами, и после включения в эту проблематику Валле-Пуссена, Джексона, Бернштей-на, а затем и других, эта ветвь анализа выросла в огромную самостоятельную доктрину.
Нельзя не сказать коротко о цикле исследований Чебышева (1874, 1888 гг.), А. А. Маркова (1884—1885, 1900 гг.) и К. А. Поссе (1886 г.) по теории предельных величин интегралов. Помимо их значения для самой этой теории, они сыграли существенную роль в подготовке введения интеграла Стилтьеса; отчасти отсю-
Мы считаем, что и Лобачевский, и Дирихле сформулировали лишь определение понятия непрерывной функции, а не произвольной функции действительного переменного. См. Юшкевич [1, с. 299].
См. Юшкевич [1, с. 405—426] и указанную там литературу.
171
да, а отчасти из других соображений выросли и работы А. А. Маркова, Г. Ф. Вороного и А. М. Ляпунова по теории интеграла Стилтьеса и его приложениям в период, когда математики в основном еще не были знакомы с этим понятием (1900—1905 гг.). В этой же проблеме предельных величин интегралов у Маркова, Чебышева и Поссе появились обобщенные функции.
Совсем коротко упомянем о дифференцировании с произвольным индексом у Сонина (1872 г.) и А. В. Летникова (1874 г.); об ортогональных многочленах Сонина (1880 г.) и его методе ор-тогонализации, предложенном за десятилетие до появления соответствующего метода Шмидта (1907 г.); о почти-периодических функциях Боля (1893 г.), от которых затем отталкивался Бор; о важных работах Стеклова по теории замкнутости ортогональных систем функций, выполненных на рубеже XIX—XX вв.; о методе суммирования расходящихся рядов Вороного (1902 г.), переоткрытом Нёрлундом в 1919 г.; об обобщенном пределе (пределе по фильтру) у С. О. Шатуновского (1906—1907 гг.), развитом также Д. А. Крыжановским (1913—1924 гг.).
Таким образом, в России, как и в Англии, сложился относительно большой задел теоретико-функциональных идей и методов. Но помимо этого здесь, в отличие от Англии, в начале XX в. была проведена, как уже упоминалось, заметная подготовительная работа, предшествовавшая подъему исследований непосредственно по теории функций. Эта работа состояла в просветительской и учебно-воспитательной деятельности (переводы на русский язык научной, учебной и научно-популярной литературы, включение в издававшиеся в России учебники сведений по теории множеств и функций, создание специальных семинаров и т. д.) большой группы ученых: А. В. Васильева (1853—1929), И. В. Сле-шинского (1854— 1931), Б. К. Млодзиевского (1858— 1923), Б. Я. Букреева (1859—1962), Д. А. Граве (1863—1934), В. Л. Некрасова (1864—1922), И. И. Жегалкина (1869—1947), Н. Н. Пар-фентьева (1877—1943), Г. А. Грузинцева и др. Особо следует сказать о книгах Некрасова «Строение и мера линейных точечных областей» (1907 г.) и Жегалкина «Трансфинитные числа» (1908 г.) —первых книгах в России и одних из первых в мире, посвященных специально теории множеств. Если Некрасова опередили только Юнги и их книга была написана на более высоком научном уровне, то монография Жегалкина, посвященная абстрактной теории множеств, не только не уступала в научном и методическом отношении первой монографии по этому предмету Гессенберга (1906 г.), но и превосходила ее во многих пунктах21.
21 Некоторые авторы считают, что Д. А. Граве еще до Лебега пришел к идее лебеговского интегрирования. Мы полагаем, что такое мнение ошибочно: функция Граве является монотонной и интегрируема по Риману, так что обобщения понятия интеграла она не требовала; способ Граве вычисления интеграла от нее являлся просто вычислительным приемом.
