Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
29 Неудачным мы назвали его только потому, что Рисе тогда не знал об аналогичных обобщениях У. Г. Юнга и Лебега, риссовы доказательства вполне оригинальны.
189
построить теорию дифференцирования, обобщавшую изложен ную в лебеговском мемуаре, но зато'он без нее сумел обобщить теорему Лебега о представлении вполне аддитивной и абсолютно непрерывной функции интегралом от ее производной, открыв тем самым новый подход к самому понятию производной функции множества.
Одна из основных теоретико-функциональных работ бельгийца Валле-Пуссена «Интеграл Лебега. Функции множества. Классы Бэра» (1916 г.), как показывает уже само ее название, являлась скорее методической обработкой идей французских ученых. Там же, где он выходил за их пределы, он оказывался не слишком оригинальным. Так, например, он построил более общую, чем лебеговская, теорию меры, но его в этом на три года опередил Радон, о чем тогда Валле-Пуссен не знал.
Каратеодори, грек по происхождению, в своих «Лекциях о функциях действительного переменного» (1918 г.), в отличие от традиционных тогда способов изложения теорий меры и интеграла, характеризовавшихся тем, что лебеговские обобщения излагались наряду с другими, предшествующими им, с самого начала вводил именно лебеговскую теорию, а факты теорий интегрирования по Риману и меры Пеано — Жордана преломлялись через призму лебеговского подхода. Такое расположение материала Каратеодори считал одним из важных достоинств своей книги.
Цикл работ румына Стоилова (1923—1925 гг.) по обращению непрерывных функций опирался, как он подчеркивал сам, целиком и почти единственно на теорему Лебега о дифференцируе-мости функции с ограниченным изменением, а отправлялся он от изучения бэро-лебеговских множеств Е\}(х)>а] для рассматриваемых им функций.
Голландец Риддер, приступая к изучению аппроксимативно непрерывных функций нескольких переменных (1929 г.), исходил из соответствующих результатов Данжуа не только в отношении общих соображений, но и в технических средствах рассуждений.
Поляк Никодим строил в 1930 г. ту же самую теорию интегрирования, что и Фреше в 1915 г., лишь несколько модифицировав подход к ней. Для интеграла такой общности он доказал знаменитую теорему Радона — Никодима, установленную, как говорилось ранее, Радоном, а еще ранее Лебегом при менее общих предположениях.
Болгарин Тагамлицкий, изучая в 1947 г. вопрос об интегрировании последовательностей суммируемых по Лебегу функций, не только оставался в рамках основных концепций французской школы, но и привлекал для доказательства своих утверждений рассуждения Фату 1906 г.
Эти примеры лишь в слабой степени характеризуют непосредственное воздействие работ французских математиков на
183
математическую мысль представителей самых разных стран. Но в сочетании со всем сказанным в настоящей главе, особенно учитывая опосредствованное воздействие через труды прямых продолжателей дела французов, они лишний раз свидетельствуют о мощи этого влияния. А если к этому присоединить то, что очень многие результаты, идеи и методы, разработанные французскими учеными при изучении точечных множеств евклидовых пространств и действительно-значных функций на таких множествах, были затем перенесены в топологию, функциональный анализ, абстрактную алгебру, даже кибернетику, то сила воздействия оказывается еще более зримой.
§ 7. Воздействие на развитие других математических дисциплин
Мы приняли ту точку зрения, что теория функций действительного переменного является обобщением на функции действительного переменного, заданные на множествах евклидова пространства, математического анализа в узком смысле, есть классический анализ на новом этапе его развития. А этот анализ был тесно связан не только со всевозможными его ответвлениями аналитического характера (теория функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения, аналитическая и дифференциальная геометрии, вариационное исчисление и т. д.), но и практически со всеми разветвлениями математической науки — от теории чисел и до математического естествознания.
Отсюда априори вытекает, что и теория функций действительного переменного необходимо должна быть связана со всей совокупностью математических наук. И на самом деле положение вещей именно Ta1KOBo: взаимосвязи и взаимовлияния теории функций и остальной математики необычайно многообразны. Мы, как и во всей настоящей главе, ограничимся отдельными примерами воздействия теоретико-функциональных идей и методов на развитие других математических дисциплин с естественным упором на работы французских ученых.
Яркий пример этого воздействия дается историей функционального анализа, что вполне понятно, так как последний тоже является учением о функциях (функционалах и операторах), только с более абстрактными областями задания (функциональными пространствами и множествами в таких пространствах) и областями значений.
Элементы функционального анализа складывались на протяжении XIX столетия, а с 80-х годов, главным образом в трудах Вольтерры и Пинкерле, он стал перерастать в большую самостоятельную науку. В то время преобладающей аналитической дисциплиной была теория функций комплексного переменного с римано-вейерштрассовскими подходами к ее построению. По-
