Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
184
скольку функциональный анализ мыслился как непосредственное обобщение теории функций, то естественно, что планы построения последней стали прообразами планов создания функционального анализа. Вольтерра взял за образец риманову теорию, а Пинкерле — вейерштрассову. Ими, а также их учениками и последователями на протяжении примерно двух десятилетий была проделана большая работа по созданию новой науки, но все же исследования в этой области не получили тогда должного размаха.
Формирование на рубеже XIX—XX вв. теории функций действительного переменного с ее более абстрактным подходом, с более тонкими и строгими методами привело к пересмотру самих принципов построения функционального анализа: на передний план аналитических изысканий выступила теория функций и множеств в ее французской трактовке, поэтому естественным оказалось намерение взять за образец именно эту обновленную дисциплину с ее более абстрактным подходом.
Этот пересмотр начался в окружении Адамара и был вкратце очерчен им еще в 1897 г. на Международном математическом конгрессе [2], а новый план построения функционального анализа — по образу и подобию теории функций действительного переменного— начал с 1904 г. осуществлять его ученик Фреше. Его первый большой успех в этом направлении — докторская диссертация «О некоторых вопросах функционального исчисления» [8]30, опубликованная в 1906 г.,— стал вместе с тем и триумфом французской школы теории множеств и функций: ее идеи и методы оказались плодотворными для развития новой большой науки, значение которой осознавалось уже многими математиками.
За предмет изучения Фреше взял прямое обобщение функции действительного переменного — понятия функционала, а в основу изучения положил, как и в теории функций, теорию множеств. Сам он, поставив задачу систематического исследования функционалов, писал: «С этой целью сначала нужно обобщить теорию линейных множеств, которая способствовала такому прогрессу теории функций одного переменного. Можно было бы возразить, что в течение долгого времени теория функций31 могла обходиться без рассмотрения точечных множеств. Однако в функциональном исчислении предварительное изучение множеств еще более необходимо. Действительно, в нем (по крайней мере, вначале) нечему играть роль интервала, рассмотрение которого было так долго достаточным в теории функций» [8, с. 2]. И значительная часть его диссертации посвящена изучению множеств в метрических пространствах, а затем применению результатов такого изучения к рассмотрению функцио-
30 Ей предшествовали его работы [1—5, 7].
31 Мы бы сказали классический анализ.
185
налов. Многие свойства функций, незадолго до этого полученные французскими учеными, включая Фреше, переносятся в новую, более абстрактную ситуацию и становятся кирпичами здания новой науки.
После этой работы Фреше функциональный анализ стал развиваться главным образом в таком направлении, а более ранние подходы Вольтерры и Пинкерле, хотя они и продолжали развиваться, например, Гато и Леви во Франции и Фантаппье в Италии, отступили на второй план. Сам Фреше интенсивно продолжал свои исследования — правда, с уклоном в теоретико-множественную топологию; вскоре к нему присоединился Рисе, соединивший идеи французов с идеями школы Гильберта, а затем и другие; наконец, когда в 1922 г. Банах, Винер и Ган независимо друг от друга вступили в основном на тот же путь, функциональный анализ начал разрабатываться с необычайной интенсивностью преимущественно по плану, намеченному Фреше.
Так обстояло дело не только с общим планом построения новой науки, но и в бесчисленных деталях его осуществления. Мы проиллюстрируем это только небольшим эпизодом истории интегрирования векторозначных функций — одного из основных аналитических средств функционального анализа.
В 1927 г. Грейвс ввел абстрактный интеграл Римана. И хотя он ставил перед собой цель построить теорию интегрирования векторозначных функций, полностью параллельную классической теории интеграла Римана, он тем не менее брал за образец последнюю не в форме, которая сложилась в XIX в., а в форме, приданной ей Лебегом, вплоть до технических средств рассуждений и лишь с указанием необходимых модификаций их в более общей ситуации. Даже если бы он построил ее строго по образцу теории прошлого столетия, то и это было бы достаточным для подтверждения нашей основной мысли о воздействии теории функций на функциональный анализ; факт же ее преобразования в лебеговском смысле говорит именно о влиянии идей французских ученых. Еще больше это влияние проявилось у Гиль-дебрандта (1927 г.), который обобщил грейсовское интегрирование до интегрирования векторозначных функций по Лебегу; у него основная конструкция и методы рассуждений являются прямыми аналогами соответствующих лебеговских. Подобных иллюстраций можно привести сколько угодно и в том же вопросе интегрирования векторозначных функций, и во многих других вопросах функционального анализа.
Не менее яркий пример воздействия теории функций действительного переменного на другие области математики мы находим в истории теории вероятностей.
