Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
180
даже в 1913 г. автор этой статьи, зная лебеговскую теорию интегрирования, все же предпочитает излагать свои результаты для римановских интегралов — отсюда и постоянное обращение к работам Ариела.
Приведенные примеры, число которых можно было бы значительно увеличить, показывают, что хотя воздействие идей французских ученых на развитие теории функций и множеств в России было на первых порах определяющим, но оно не помешало проявлению оригинальности новой, московской школы теории функций и множеств; вскоре математики нашей страны существенно обогатили идейный арсенал новой научной дисциплины и стали не только в один ряд с самими французскими учителями и последователями последних в Италии и Англии, но постепенно образовали наиболее мощный коллектив специалистов по теории функций и множеств, выделяющийся как числом его участников, так и значением результатов, идей и методов, полученных и развитых его членами.
§ 6. Совсем коротко об исследованиях в других странах
Воздействие трудов французских ученых в области теории функций и множеств сказалось, разумеется, не только в Италии, Англии и России. Оно в различное время, в разных формах, часто в специфическом виде, проявлялось и проявляется всюду, где занимались соответствующей математической проблематикой. Большие национальные коллективы сложились в Германии, США, Японии, Польше, Венгрии, Румынии; отдельные крупные ученые занимались и занимаются ею в Австрии, Бельгии, Голландии, Индии, Канаде, Чехословакии, Швеции, Югославии и в других странах, и в каждой из них это воздействие можно обнаружить. Интересной, кстати, спецификой построения теории функций как науки является то, что она в значительной мере представляет собой, если можно так выразиться, молодежную науку — в том смысле, что, как правило, наиболее существенный вклад в ее разработку ученые вносили в период своей молодости, а затем наиболее крупные из них чаще всего уходили из теории функций действительного переменного в другие области: в теорию функций комплексного переменного, в топологию, в функциональный анализ, в теорию дифференциальных и интегральных уравнений, в теорию вероятностей, в математическую логику и т. д. Так обстояло дело с Вольтеррой, Борелем, Муром, Ганом, Лузиным, Радоном, Риссом, Серпинским, Голубевым, Степановым, Александровым, Колмогоровым, Банахом и др. Они, словно испробовав здесь свои силы и отточив мастерство, использовали затем свои способности в несколько иных сферах деятельности. Это не означает, что не было больших математиков, посвятивших или посвящающих свою жизнь почти исключительно теории функций
181
действительного переменного. Достаточно назвать Лебега, Данжуа, У. Г. Юнга, Меньшова, Зигмунда и др., чтобы понять, что и эта наука является достаточно обширным полем применения усилий самых выдающихся людей. Правда, и у них достаточно отчетливо намечены тенденции выхода за пределы собственно теории функций, -но они вызваны, скорее, не стремлением сменить область деятельности, а желанием расширить круг применений идей и методов разрабатываемой ими науки.
В целом же теория функций и множеств остается глубоко интернациональной наукой. Ее история еще далеко не написана, и нижеследующие примеры, предназначенные для иллюстрации воздействия научной мысли французских ученых, носят довольно случайный характер.
Несколько неудачным дебютом венгра Ф. Рисса в теории функций (1905 г.) было обобщение теоремы Бореля о конечном покрытии29 и применение ее для доказательства некоторых важных теорем анализа, а первые его существенные достижения — теорема Рисса — Фишера (1907 г.) и введение сходимости по мере (1909 г.)—не только опирались на основные идеи французов, но и доказывались при помощи техники, разработанной последними.
Говоря ранее о сходимости почти всюду, мы связывали введение этого вида сходимости функциональных последовательностей с именем Лебега, и это соответствует фактическому положению вещей, поскольку в его работах ее можно проследить, начиная с 1901 г. Однако в первом десятилетии нашего века она не была осознана достаточно полно как самостоятельный вид сходимости, и немец Вейль в 1909 г., отправляясь от лебе-говских «Лекций об интегрировании и отыскании примитивных функций» (1904 г.), в которых она неоднократно использовалась, но не достаточно четко была отделена от обычной сходимости всюду, ввел ее как новый вид сходимости, назвав в основном равномерной, и дал ей новые важные применения. Пожалуй, лишь после этого, а особенно после тео-* ремы Егорова (1911 г.), которой было установлено тождество вейлевской в основном равномерной сходимости и сходимости почти всюду для множеств конечной меры, лебеговская сходимость была отделена от обычной.
Фундаментальная работа австрийца Радона «Теория и применения абсолютно-аддитивных функций множества» (1913 г.) представляла собой соединение идеи стилтьесовского интегрирования с основными соображениями, изложенными Лебегом в 1910 г. [32]. При построении новой теории интегрирования Радон шаг за шагом следовал ходу мыслей Лебега в его мемуаре «Об интегрировании разрывных функций». Радону не удалось
