Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Борель был талантливым преподавателем. Но он преподавал по преимуществу математику, и отдельные его курсы лекций стали большими вехами в развитии этой науки, о чем уже говорилось на с. 52—53 Ни одна из названных там монографий не была учебником в традиционном смысле слова, в котором излагались бы установившиеся научные факты с общепринятой точки зрения. Они были наполнены новыми научными теориями, содержали последние открытия— в значительной мере самого Бореля — или возрождали к новой жизни забытые и даже отвергнутые теории прошлого.
Видимо, не без влияния Бореля такую традицию затем поддержали Бэр, Лебег и др
Математические исследования Бореля чрезвычайно многообразны Ему принадлежат труды по теории чисел, алгебре, анализу, геометрии, теории вероятностей и их приложениям к механике, математической физике, статистике, у него много высказываний по философским вопросам науки и по ее преподаванию. Как писал Фреше, «потребовалось бы несколько томов, чтобы лишь резюмировать труды Бореля» [18, с. 43].
Довольно отчетливо выделяются два периода научной деятельности Бореля. С начала ее и до первой мировой войны он занимался преимущественно теорией функций и связанными с нею областями. Отмечавшаяся его работа во время войны в рамках Службы изобретений привела его к соприкосновению с различными вопросами физики, механики и теории вероятностей. Это вызвало переориентацию научных интересов, и с тех пор Борель работал главным образом в указанных направлениях.
Попытаемся вкратце указать отдельные достижения Бореля, не вдаваясь в специальные пояснения.
192
Хронологически первым большим открытием Бореля в математике явилось установление того факта, что функция комплексного переменного может быть моногенной в смысле Коши в некоторой области, не являясь аналитической в смысле Вейерштрасса. Взаимоотношению понятий моногенности и аналитичности он посвятил большое число работ, начиная с диссертации [2] и кончая итоговой монографией по этому вопросу «Лекции об однозначных моногенных функциях комплексного переменного» [49], вышедшей в 1917 г. Этот цикл работ Бореля открыл в математике обширную область исследований, в которой трудились и трудятся очень многие ученые.
Следующим его фундаментальным достижением стало введение понятия меры множества и выделение очень важного класса ?-множеств. Его первая работа в этом направлении — уже называвшиеся «Лекции по теории функций» [14] — явилась одним из истоков современной математики; от этого истока можно провести нити до нынешних теории вероятностей, топологии и функционального анализа, не говоря уже о теории функций и множеств.
Велики заслуги Бореля в «узаконении» расходящихся рядов: можно сказать, что его статьи, начавшиеся публиковаться с 1896 г., и особенно его книга «Лекции о расходящихся рядах» [21], открыли зеленый свет перед глубоким изучением этого важного аппарата современной математики и его многообразными применениями.
Интересной теорией, с которой неразрывно связано имя Бореля, является и теория роста функций, являющаяся составной частью теории асимптотических разложений. Ей Борель, помимо отдельных статей, посвятил монографию [38].
Теоретико-множественный подход к теории вероятностей в настоящее время является основным в этой науке. Пионером такого подхода оказался тоже Борель: уже в 1905 г. он ввел в теорию вероятностей меру множеств, а в 1909 г.— понятие счетной вероятности; связь теории вероятностей с понятием меры множества он подчеркивал неоднократно.
Наконец, с именем Бореля связано возникновение одной из самых молодых математических дисциплин — теории игр. Соответствующие его работы относятся к 1921—1928 гг.; исследования же фон Неймана, отчасти независимо повторившего более ранние соображения Бореля, но развившего их глубже и шире, начались лишь с 1928 г.
Борелю принадлежат и отдельные результаты столь фундаментальной важности, что их влияние продолжает сказываться до наших дней, хотя некоторые из них были установлены еще в прошлом веке. Укажем только два примера.
Первым из них является теорема о конечном покрытии. То, что до открытия этой теоремы Борелем ею владели, как отмечалось ранее, Вейерштрасс, Пинкерле и др, не умаляет роль Бореля. Именно он придал ей тот удобный вид, в котором она применяется и изучается поныне. Доказанная Борелем в 1895 г., она затем передоказывалась, обобщалась и углублялась многими учеными.
Когда в 1926 г. видный американский математик Гильдербрандт [1] попытался проследить исторические судьбы этой теоремы и ее обобщений, то ему пришлось написать статью в полсотни страниц, рассмотреть несколько десятков работ сорока авторов, среди которых оказались Лебег, У. Г. Юнг, Данжуа,
193
Фреше, Лузин, Урысон, Александров, Серпинский и др. Продолжение этого труда Гильденбрандта до сегодняшних дней, видимо, потребовало бы, по крайней мере, удвоения числа источников, а полная история названной теоремы потребовала оы написания целой книги.
В качестве второго примера можно указать следующий. В 1896 г Борель предложил элементарное доказательство теоремы Пикара о значениях, принимаемых аналитической функцией в окрестности существенно особой точки Для этого, казалось бы, простого передоказательства известного факта он разработал метод, развитый им далее в следующем году, который положил начало метрической теории распределения значений аналитических функций, оказавшейся темой трудов целого поколения аналистов, не закрытой и сегодня.
