Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
74
в виду именно обобщенный взгляд на представимость функции. В разделе же, посвященном методу суммирования Римана, он пользуется и словами «аналитическое выражение» (с. 279) в смысле. представления функции суммируемым почти всюду рядом.
Таким образом, теперь для Лебега функция изобразима аналитически не только тогда, когда она может быть представлена в виде предела последовательности функций, сходящейся к ней всюду, или итерированных предельных переходов этого типа, но и тогда, когда представляющая последовательность сходится только почти всюду, а также когда ряд, изображающий, функцию, суммируем каким-либо методом всюду или почти всюду. В последующей истории теории функций эта идея получила дальнейшее развитие, когда для аналитического изображения функций стали применять еще более общие виды сходимости последовательностей функций.
Отметим еще один любопытный момент. В своих предшествующих работах по теории интегрирования Лебег не установил еще формулы интегрирования по частям для своего интеграла. Однако при доказательстве теоремы о суммируемости ряда Фурье методом Чезаро эта формула ему понадобилась. Он ее применил (с. 274) и в сноске написал: «Если имеются какие-либо сомнения в законности применения этого метода, то можно будет заметить, что интегрирование по частям всегда может быть заменено применением двойных интегралов, а эти интегралы я изучил в своей диссертации». Ссылка на диссертацию в связи с общей формулой интегрирования по частям неудовлетворительна тем, что в ней он рассмотрел двойные интегралы только от ограниченных измеримых функций. Не удовлетворило это, видимо, и самого Лебега, поэтому через несколько лет он возвратился к указанной формуле [30, с. 40—43]. Мы не можем с определенностью утверждать, что потребность в ней в теории тригонометрических рядов вызвала необходимость ее более строгого обоснования, но одним из стимулов эта потребность, вероятно, была, так как ее применения при изучении тригонометрических рядов довольно часты.
Кульминационным пунктом в исследованиях Лебега явились его классические «Лекции о тригонометрических рядах» [24]. Здесь подытожены и развиты все упоминавшиеся идеи и результаты, а также добавлены новые. Характерным для этой книги является тесное переплетение общих теоретико-функциональных идей и методов с более конкретными соображениями теории тригонометрических рядов. Значительная ее часть посвящена изложению, нередко с новыми доказательствами, многих теорем теории функций, которыми автору пришлось воспользоваться при рассмотрении этих рядов. Укажем, в частности, теоремы: предел сходящейся почти всюду последовательности измеримых почти везде конечных функций является функцией той же при-
75
роды (с. 9); сходящаяся почти всюду последовательность измеримых почти везде конечных функций сходится и по мере (с. 10); произведение суммируемой функции на суммируемую и ограниченную функцию суммируемо (с. 11); о возможности почленного интегрирования рядов с равномерно ограниченными остатками (с. 14, 15) и т. д.65 Из новых результатов непосредственно по теории тригонометрических рядов упомянем изучение метода суммирования Пуассона, о котором в предыдущей работе Лебег лишь упомянул [18, с. 280, сноска]. В целом же эта книга заслуживает самостоятельного изучения, поэтому мы ограничимся сказанным и добавим лишь, что после ее выхода под рядами Фурьё стали понимать ряды Фурье — Лебега и до появления новых концепций интегрирования — а во многом и до сегодняшнего дня — эти ряды рассматриваются именно в таком смысле.
Описанные работы Лебега и названные здесь идеи и результаты далеко не исчерпывают всего вклада Лебега в разработку теории тригонометрических рядов и связанных с этим вопросов теории функций. Помимо заметок [16, 17], являющихся предварительными сообщениями о результатах, в основном вошедших в [12] и [18], но содержащих и некоторые интересные соображения, Лебег опубликовал в 1910 г. большую статью «О приближенном тригонометрическом представлении функций, удовлетворяющих условию Липшица» [33], в которой он изучил вопросы скорости сходимости ряда Фурье функций, удовлетворяющих условиям Липшица разного вида66, и порядка величины коэффициентов Фурье. Кроме того, в его упоминавшемся мемуаре «О сингулярных интегралах» [30] содержится много соображений, находящихся в тесной связи с теорией тригонометрических рядов67. Мы, однако, удовольствуемся сказанным и перейдем к рассмотрению работ других французских математиков.
Наиболее выдающейся из них является, несомненно, большая статья Фату «Тригонометрические ряды и ряды Тейлора» [4], опубликованная в 1906 г.68 Несколько более молодой современник Лебега и друг последнего, он писал свою работу под его идейным воздействием, продолжив переработку ряда классиче-
65 Мы несколько модифицировали оригинальные формулировки Лебега ради краткости.
ы Обычному условию |f(x-fS)—/(x)|<X.S, 6>0; обобщенному условию Липшица |/(*+o)—/(х)[<Х,6а, Х.>0, 0<а<1; условию Дини — Липшица
•7 В качестве одного из примеров укажем на введение здесь так называемых констант Лебега ряда Фурье [30, с. 116—117], т. е. таких величин Xn, что |S„(x)|^;A.nM, где Sn (х) — частная сумма ряда Фурье функции /(*), а
