Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
До сих пор, говоря о различных способах аналитического представления функций, мы не касались одного очень важного в теории функций аппарата сингулярных интегралов.
Если в квадрате (a^lt^b, а<х<Ь) задана функция On(t,x) (п=1,2,...) такая, что
?
lim f<D«(/,x)d/=l, 0)
а
a^a<x<?^o, и она суммируема по t при каждом фиксированном х, то эта функция называется ядром. Интеграл вида ь
Ы(х)= JcDn (Ux)f (Q dt, (2)
а
в котором Ф„(/, х) является ядром, называется сингулярным интегралом.
История таких интегралов, видимо, начинается с Фурье. Ими и их многообразными применениями в математике и математическом естествознании в XIX и в начале XX столетий занимались очень многие математики — Пуассон, Дирихле, Дарбу, Вейерштрасс, Пикар, Фейер, Валле-Пуссен, Ландау, Рисе, Гоб-сон и др. Выдающееся место в длинном ряду исследований по таким интегралам занимает работа Лебега «О сингулярных интегралах» [30].
Одним из главных приложений теории сингулярных интегралов является их применение для аналитического представления функций, а это связано с вопросом схрдимости интегралов (2). Основной целью лебеговской работы [30] как раз явились поиски необходимых и достаточных условий такой сходимости.
78 См Данжуа [14].
83
Остановимся лишь на некоторых моментах этой замечательной во многих отношениях работы.
Интересен вспомогательный аппарат лебеговской теории. Для ее разработки потребовалось привлечь некоторые основные свойства интеграла Лебега, вроде теорем о среднем значении, об интегрировании по частям и при помощи подстановки и т. п. Ко времени написания рассматриваемой работы большинство этих свойств уже было установлено или самим Лебегом, или другими учеными. В [30] Лебег разработал метод доказательства отдельных теорем указанного типа, основанный на представлении своего интеграла суммами Коши — Римана (с. 30—33). Это впоследствии послужило источником многих работ, в которых само определение интеграла Лебега вводилось при помощи сумм коши-римановского типа или же при посредстве подобных сумм получали даже более общие результаты.
Другим интересным моментом мемуара Лебега является то, что он фактически ввел в нем понятие слабой сходимости в пространстве функций с суммируемым квадратом74. Явно он это понятие не сформулировал75, но оно содержалось в ряде доказанных им теорем, например такой.
Пусть / — произвольная функция из пространства функций с суммируемым квадратом и ь
/»(f)=» Jf(a)q>(a,n)}fa,
а
где <р(а, п) —ядро типа (1). Тогда, как доказал Лебег, для того чтобы In(f) стремился к нулю вместе с 1/п, какова бы ни была функция / с суммируемым квадратом, необходимо и достаточно, чтобы:
1) ядро <р(а, п) было суммируемым с квадратом, а интеграл
ь
J <р2(а, л)Ах не превосходил некоторого числа, которое не ЗаВИ-ti
сит от п;
2)|<р (a, n)da стремился к нулю вместе с —, каковы бы ни
были Я, и ц, взятые из (а, Ь) (с. 55).
Наконец, укажем еще одну из основных теорем Лебега — теорему о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках непрерывности [30, с. 69—71], которую можно сформулировать так: если при фиксированном х, а<х<&, и произвольном 6>0 ядро <pn(t,x) слабо сходится к нулю в каждом
74 О понятии слабой сходимости см. Натансон [1, с. 218].
75 Это сделал Рисе в 1910 г., зная работу Лебега.
84
из промежутков [а, х-— 6), (x+b, Ь] и, кроме того, ь
l\ya(Ux)\dt<H(x),
а
где функция Н(х) не зависит от п, то, какова бы ни была суммируемая f(t), непрерывная в точке х, справедливо равенство
lim fn (х) = f (х),
л-юо
где fn(x) определяется равенством (2).
Работа Лебега «О сингулярных интегралах» долго затем служила истоком многих изысканий.
Помимо введения и изучения разных классов функций и вопроса о представлении функций сингулярными интегралами, к другим вопросам истории теории функций во Франции следует отнести изучение Монтелем так называемых нормальных семейств функций, т. е. последовательностей функций, обладающих предельной функцией76. Его исследования в целом выходят за рамки рассматриваемого периода, и мы не будем подробно останавливаться на них, тем более потому, что они развертывались преимущественно в комплексной области. Однако их отправным пунктом послужила ранняя монтелевская работа «О бесконечных последовательностях функций» [1], опубликованная в 1907 г., содержание которой во многом примыкает к излагаемой теме.
Ограниченные множества n-мерного евклидова пространства обладают тем фундаментальным свойством, что во всяком таком бесконечном множестве имеется подмножество, содержащее по крайней мере одну предельную точку (теорема Больцано—Вейерштрасса). Это свойство имеет чрезвычайно большое число приложений в самых разнообразных вопросах анализа и теории функций. Для множеств более общего типа, в частности для множеств функций или кривых, это оказалось вообще не так.
Множества функций рассматривались в анализе чуть ли не с самого возникновения последнего. Однако до создания теории и точечных и абстрактных множеств множества функций не были объектом самостоятельных исследований. Такие исследования начались в 80-х годах прошлого века, и их пионерами были итальянцы Асколи и Арцела. Первый ввел важное понятие равностепенной непрерывности семейства функций и установил необходимые и достаточные условия компактности бесконечного множества в пространстве непрерывных функций с топологией равномерной сходимости. Второй вновь и более четко изложил эти результаты и дал им интересные приложения. На рубеже веков подобные соображения развивали многие, в том числе
