Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
68 Несколько ранее появившиеся заметки [1, 2] являются лишь предварительными сообщениями о некоторых результатах, вошедших в эту работу.
M= SUp !/(*)!•
76
ских результатов в духе новой теории функций, развив их далее и получив вместе с тем много новых результатов собственно в теории функций как действительного, так и комплексного переменных.
Исходным пунктом его работы явилось изучение интеграла Пуассона
л
F (г, 6) = — Г--flu) du, (1)
-я
определяющего гармоническую функцию (регулярную внутри круга единичного радиуса и принимающую на окружности этого круга в точке с аргументом «0 значение f(«0)). который служит решением проблемы Дирихле для круга. До Фату интеграл (1) исследовался в случае римановского интегрирования. Расширение смысла интеграла до интеграла Лебега позволило, с одной стороны, сделать теорию интеграла Пуассона более стройной и полной, а с другой — получить многочисленные приложения расширенной таким образом теории.
Параллелизм своих исследований с лебеговскими Фату подчеркнул, например, тем, что прямо сопоставил (с. 336, 337) один из основных своих результатов — если гармоническая функция, регулярная внутри круга, ограничена там, то ее можно выразить при помощи интеграла Пуассона — Лебега — с результатом Лебега — тригонометрический ряд, сходящийся к ограниченной измеримой функции, является рядом Фурье — Лебега.
Столь общий для того времени подход позволил Фату добиться многого и в теории функций комплексного переменного, на чем мы не останавливаемся, и в теории тригонометрических рядов.
Перечислим сначала основные положения работы [4] в области теории тригонометрических рядов, располагая их в той последовательности, в которой они содержатся там.
Первым из них является новое доказательство и обобщение формулы замкнутости или равенства Парсеваля, которое имеет длинную историю, восходящую к 1800 г.69 Для тригонометрических рядов Фату доказал его для случая, когда рассматриваемая функция интегрируема с квадратом в смысле Лебега (с. 350—352, 378, 379).
Вторым — известные теперь под наименованием признаков Фату признаки сходимости почти всюду тригонометрического разложения, положившие начало длинной цепи аналогичных признаков, предлагавшихся впоследствии (Ерош, Вейль, Гобсон, Планшерель, Харди и др.) 70. Один из них — если ап и Ьп явля-
,а Об истории этой формулы см. Паплаускас [1, с. 184—194], Дорофеева [1,
с. 72—75]. '» См. Лузин [1, с. 182—185].
77
OO
ются константами Фурье и ряд ^ п(ап +bl) сходится, то три-
/1=0
гонометрический ряд
OO
3 (ап cos пх -\-bn sin пх) (2)
n=i
сходится почти всюду — Фату отметил мимоходом как простое следствие доказанной им формулы замкнутости, сомневаясь в его практической полезности (сноска па с. 379). Другому — если ла„->-0, nbn-+0, то ряд (2) сходится почти всюду — он дал пространное доказательство (с. 379—382).
Интересны формулировки Фату этих признаков, из которых приведем вторую: «Если пап и nbn стремятся к нулю вместе с 1/п, то множество точек расходимости ряда
OO
2 (Д/і cos n9 + b„ sin n9) і
имеет меру нуль» (с. 379). Вместо того, чтобы сказать, как принято теперь, что если лап->-0, пЬ„->-0, то тригонометрический ряд сходится почти всюду, Фату формулирует заключение теоремы в виде утверждения о мере множества точек расходимости. Это, конечно, одно и то же, но сам способ выражения говорит о том, что хотя фактически здесь (как и в ряде аналогичных случаев) Фату ведет речь о новом виде сходимости — сходимости почти всюду, этот новый вид сходимости не очень осознан. Анализируя первый признак, Фату далее устанавливает (с. 385—389) необходимое и достаточное условие сходимости ряда (2) в точке, когда выполняются условия ла„->-0, non-4).
Чрезвычайно важным оказалось обращение Фату к абсолютно сходящимся рядам. Прежде всего, он установил, что точки сходимости, расходимости, абсолютной сходимости и непрерывности ряда (2) расположены симметрично относительно точек абсолютной сходимости (с. 398); в качестве следствия из этого он получил (с. 398), что если ряд (2) имеет две точки абсолютной сходимости, разность аргументов которых несоизмерима с л., то такие точки образуют всюду плотное множество. Далее он доказал, что если ряд (2) абсолютно сходится, то сходятся и
СО OO
ряды S lanl' SlM (с- 399). Свои исследования абсолютно
Л=»0 П=0
сходящихся рядов Фату продолжил в 1913 г. [6], а еще несколько ранее ими заинтересовался и Данжуа [6].
Сказанное не исчерпывает содержания мемуара Фату даже в отношении тригонометрических рядов. Он своими методами получил заново ряд уже известных результатов (см. 387, 388,
78
397), нашел критерий суммируемости методом среднего арифметического (с. 384), поставил проблему связи вопроса об аппроксимации иррациональных чисел с вопросами сходимости и расходимости тригонометрических рядов (с. 395—398) и т. д.
В своих исследованиях Фату взял на вооружение чуть ли не весь арсенал лебеговской теории меры и интегрирования. Он широко пользовался теоремами о производной неопределенного интеграла, об интегрировании по частям, о предельном переходе под знаком интеграла для последовательностей ограниченных в совокупности функций и т. д. Более того, он установил (с. 375, 376) важную новую теорему о почленном интегрировании, известную теперь под его именем. И если, как мы видели, Лебег применял некоторые из этих теорем с соблюдением известных предосторожностей, поскольку они еще не были формально доказаны, то Фату порой не очень об этом беспокоится. Так, например, он безо всяких оговорок пользуется теоремой об интегрировании по частям (с. 348, 349), применяет понятие главного значения в смысле Коши для интеграла Лебега (с. 361), хотя последнее еще никем формально не вводилось. Вместе с тем исторически интересно и одно уточнение, которое Фату специально не сформулировал, но постоянно применял, и о котором мы скажем чуть подробнее.
