Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
К концу XIX в. в математике сложилось такое положение, что продолжение исследований по очень многим, казалось бы, чисто математическим проблемам стало невозможным без привлечения теоретико-множественных соображений. Более того, именно привлечение таких соображений позволило получить многие замечательные результаты в самых разнообразных областях математики. Приведем здесь некоторые из них, отчасти упоминавшиеся и ранее: теорема Кантора о единственности тригонометрического разложения (1872 г.); теории действительных чисел Дедекинда, Кантора и Вейерштрасса (1872 г.); изыскания Гарнака и Гёльдера (1883—1884 гг.) по несобственным интегра-
88
лам; исследования Миттаг-Леффлера по представлению функций рядами аналитических функций (1884 г.); теорема Пуанкаре— Вольтерры — Виванти (1888 г.) о возможности регулярного счетного процесса аналитического продолжения и т. д.
Таким образом, ситуация была такой, что, с одной стороны, многие математики и философы нападали на теорию множеств, а с другой — эта теория оказывалась настоятельно необходимой в математических исследованиях.
Интересующие нас авторы заняли — с некоторыми отличиями— следующую позицию, достаточно четко определенную Бо-релем в его работе 1899 г. [17]; теория множеств в том виде, в каком ее построил Кантор, интересна сама по себе и необходима для приложений в разнообразных математических проблемах; однако та форма, которую ей придал Кантор, во многих отношениях неудачна, и целесообразно изменить ее [17, с. 383, 384]. Все они, кроме Пуанкаре, ставшего на путь отрицания теории множеств вообще, не только декларировали необходимость изменений, но и начали осуществлять их с большим или меньшим успехом. Видимо, первой проблемой, потребовавшей, с их точки зрения, иного, чем у Кантора, подхода, была проблема трансфинитных чисел, рассмотрению которой и посвящается следующий параграф.
§ 2. Трансфинитные числа у Бореля, Бэра и Лебега
С трансфинитными числами Кантор впервые столкнулся в 1880 г. при построении производных множеств различных порядков. В это время они означали для него просто символы для обозначения последовательных производных заданного множества. В 1883 г. он становится на ту точку зрения, что порядковые трансфинитные числа являются естественным обобщением понятия порядкового натурального числа и делает попытку обосновать их введение при помощи некоторых принципов порождения. Наконец, в 1897 г. он предложил то построение теории, в котором порядковые числа вводятся как порядковые типы вполне упорядоченных множеств и которое теперь обычно излагается в учебных руководствах1. Из ранних применений трансфинитных чисел второго числового класса упомянем об использовании их при доказательстве классической теоремы Кантора — Бендиксона2: всякое несчетное замкнутое множество F представимо в виде F=P+D, где P — совершенное множество, a D — не более чем счетное. В современных доказательствах этой теоремы, благодаря понятию точки конденсации, введенному Лин-делёфом, обычно обходятся без трансфинитных чисел3, однако первоначально она доказывалась с их помощью, причем — и это
1 Подробнее см. Медведев [I, с. 112, 121—123, 177, 178] и указанную там литературу.
2 О ней см. Медведев [I, с. 126—129].
3 См., например, Натансон [I, с. 61].
89
следует подчеркнуть — применялся метод трансфинитной индукции4. Сущность обычной математической индукции состоит в том, что из истинности некоторого утверждения, в формулировку которого входит натуральное число п0, и предположения, что из истинности этого утверждения для числа п следует справедливость его для п+1, делается заключение, что оно справедливо для любого n^n0- В трансфинитной индукции в качестве п0 может быть взято любое порядковое число (X0 первого или второго числового класса, за индуктивное предположение берется предположение, что из истинности предложения для всех а, а0^а< <? следует справедливость его для порядкового числа ?, а заключение утверждает истинность его для всех a ^a0. Одно из главных отличий обыкновенной и трансфинитной индукций состоит в том, что заключительные их утверждения относятся к множествам чисел разной мощности: в первой речь идет о счетном множестве натуральных чисел п^п0, а во второй — о несчетном множестве порядковых чисел «^a0.
Абстрактное построение теории порядковых чисел Кантором в 1897 г., особенно после открытия парадокса Бурали-Форти, вызвало недоверие к трансфинитным числам вообще. Однако в конце века при их помощи были получены некоторые существенные результаты. Так, в 1895 г. Борель [2, с. 45] применил их при доказательстве теоремы о конечном покрытии, с 1897 г. ими начинает пользоваться в своих исследованиях Бэр, а вскоре и Лебег. Естественно, возникла проблема иных подходов к трансфинитным числам.
Один из таких подходов был намечен давно: с 1872 г. Дюбуа-Реймон начал разрабатывать теорию роста функций, одним из основных результатов которой была теорема, что если задана последовательность возрастающих непрерывных функций, то существует непрерывная функция, порядок роста которой превосходит порядки роста каждой из функций заданной последовательности. Эта теория изучалась затем другими математиками, в частности, как мы уже отмечали, во Франции ею занимался Адамар. Достаточно было ввести определенную символику в построения того же Адамара, как получилась совокупность символов, вроде той, которой пользовался Кантор при введении обозначений для трансфинитных чисел, причем свойства объектов, выражаемых этими символами, в обоих случаях, почти полностью совпадали.
