Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Медведев Ф.А. -> "Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв" -> 39

Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.

Медведев Ф. А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв — Новосибирск: «НАУКА», 1976. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): franchuzkaya-shkolf-teorii-funkciy.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 116 >> Следующая


К этому понятию Лебег фактически пришел еще в 1901 г. [7], исходя из своей конструкции интегральных сумм. Однако в [7] и в диссертации [8] он еще не различал измеримые и суммируемые функции, обозначая их последним термином. Это тогда имело определенный смысл, так как в указанных работах он занимался почти исключительно ограниченными функциями, а для них — если не признавать аксиомы Цермело, что имело место у Лебега тогда еще, вероятно, бессознательно, а очень скоро — и вполне осознанно,— эти понятия совпадают; к тому же неизмеримых функций в то время, как уже упоминалось, в математике просто не существовало. Однако уже в 1903 г. он вполне осознал, что свойство функции быть измеримой отнюдь не связано с ее интегрируемостью в его смысле, и ввел понятие измеримой функции независимо от понятия интеграла [11, с. 1228]. Именно этим понятием измеримой функции он стал пользоваться в своих последующих работах. Его же восприняло затем и большинство математиков

Правда, в свое определение измеримой функции f(x), заданной на измеримом множестве Е, как такой функции, для которой измеримы в смысле Лебега множества E\f(x) >а] при любом действительном а, Лебег, а за ним и все его последователи довольно долго неявно вкладывали еще одно ограничение — рассматривавшиеся функции обычно мыслились конечными почти

7- Слова «большинство математиков» имеют здесь тот смысл, что иногда при^ шшается другое определение измеримости функции.

81

всюду, однако в формальном определении последнего ограничения не было.

Видимо, первой общей теоремой об измеримых функциях была теорема Лебега, что последовательность измеримых почти везде конечных функций в случае ее сходимости почти всюду имеет пределом тоже измеримую почти везде конечную функцию. Он сформулировал ее в [7] и доказал в [8, с. 257]. По поводу этой теоремы можно сделать несколько замечаний. Во-первых, в формулировках Лебега по указанным выше причинам не делалась оговорка о конечности почти всюду. Во-вторых, он пользовался в приведенных работах термином «суммируемая», а не «измеримая» функция. В-третьих, наконец, содержащиеся в утверждении теоремы слова «сходимость почти всюду» относятся к новому виду сходимости, во многих отношениях отличному от сходимости всюду; однако введение этой сходимости произошло— подобно понятию производной почти всюду — очень постепенно, и в начале столетия эти два вида сходимости четко не различали. Так обстояло дело и у Лебега, когда он говори/ просто о сходимости последовательности, хотя из контекста вытекало, что имеется в виду именно сходимость почти всюду. Это относилось не только к данной теореме, но и ко многим другим.

Указанной теоремой Лебега устанавливалось, что класс измеримых функций замкнут относительно самой общей операции теории функций того времени — операции перехода к пределу почти всюду. Введение впоследствии более общих предельных переходов, вроде предела по мере (Рисе, 1909 г.), также не вывело за рамки измеримых функций.

Теорема Лебега, устанавливая измеримость предельной функции сходящейся почти всюду последовательности измеримых функций, ничего не говорила о возможности представления этой предельной функции функциями более простой природы. В этом смысле существенна теорема Фреше 1906 г.: для всякой измеримой и почти везде конечной функции, заданной на сегменте, существует последовательность непрерывных функций, сходящаяся к ней почти всюду [8, с. Г5, 16].За год до этого Фреше доказал эту теорему для JB-функций [4], а Лебег мимоходом высказал ее и наметил схему доказательства для произвольных суммируемых функций [18, с. 272]. Возможность же аппроксимации произвольной измеримой почти везде конечной функции непрерывными функциями устанавливалась теоремой Бореля 1912 г.: если на [а, Ь] задана измеримая почти везде конечная функция f(x), то для любых б>0, є>0 существует непрерывная на [о, Ь] функция ?(*)> Для которой тЕ(\[—Чг\>8)<г [41].

. Наряду с этим очень общим классом функций, французские ученые рассматривали и более частные их классы. Мы уже довольно много говорили о 5-функциях. Упомянем еще о классе суммируемых функций, введенном Лебегом в 1901 —1902 гг. вместе с понятием своего интеграла. Для последних тоже было до-

82

казано много важных теорем, на которых мы не будем останавливаться. Борель, со своей стороны, вращаясь больше в рамках теории функций комплексного переменного, время от времени приходил к функциям действительного переменного. Мы говорили (с. 30) о введении им еще в 1895 г. неаналитических функций действительного переменного, описываемых достаточно простыми аналитическими средствами. В этом направлении он продолжал поиски и далее; в частности, в 4900 г., обобщая понятие аналитического продолжения, Борель [19, 20] выделил еще один класс функций действительного переменного, включающий в себя аналитические функции, причем функции этого класса полностью определялись заданием их значений и значений их производной в точке. Эти поиски привели его к выделению класса квазианалитических функций, изучавшихся и обобщавшихся впоследствии многими учеными (Данжуа, Бернштейн, Карлеман и др.) '3.
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 116 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed