Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Как мы уже говорили, Лебег первоначально не различал суммируемые и измеримые функции; к этому различию он пришел в 1903 г., но оно некоторое время имело для него смысл только для неограниченных функций. Когда же в формулировках его утверждений речь шла об ограниченных функциях, то он обычно считал их измеримыми, а значит, и суммируемыми, лишь отмечая, что ему неизвестны примеры ограниченных неизмеримых функций. Первый пример неизмеримого по Лебегу множества (а значит, и неизмеримой ограниченной функции) построил в 1905 г. Витали при помощи аксиомы Цермело.
В работе Фату [4] нет каких-либо упоминаний об этом, но интересно то, что в его формулировках измеримость и суммируемость отделены и для ограниченных функций. Так, он обычно пользовался термином «ограниченная и суммируемая функция» (например, с. 363) там, где Лебег сказал бы в то время просто «ограниченная» или просто «суммируемая» функция.
И, наконец, отметим еще, что в заметке 1906 г. «О разложении в тригонометрический ряд неинтегрируемых функций» [5] Фату, развив римановские необходимые и достаточные условия представимости функции тригонометрическим рядом, построил пример несуммируемой функции, для которой можно построить сходящийся тригонометрический ряд, если его коэффициенты вычислять, пользуясь определением интеграла как разности значений примитивной. Такие ряды Фату назвал «обобщенными рядами Фурье». Конечно, такой подход к понятию интеграла, а следовательно, и ряда Фурье, в том виде, в каком его изложил Фату
79
в заметке [6], неудовлетворителен, но сам факт существования довольно простых функций, примитивные которых можно находить относительно простым вычислением и которые вместе с тем несуммируемы, был знаменателен для периода, когда понятие интеграла Лебега только что становилось прочно на ноги. Это лишний раз свидетельствовало, что требовалось дальнейшее обобщение интеграла.
Подведем некоторые итоги. В течение очень небольшого промежутка времени — по существу, за четыре года (1903— 1906 гг.)—давняя теория тригонометрических рядов была поднята па новую ступень развития. Ряды Фурье превратились в ряды Фурье—Лебега; был существенно расширен класс функций, изобразимых тригонометрическими рядами; изменился взгляд на характер аналитического представления функции: к сходимости всюду были добавлены сходимость почти всюду, суммируемость всюду и почти всюду"; были найдены новые критерии сходимости и суммируемости. В ходе этой перестройки вырабатывались новые понятия и методы, имеющие большое значение не только в теории тригонометрических рядов, но и далеко за ее пределами; вместе с тем в отдельных пунктах выявились пробелы в других вопросах теории функций, а также недостаточность уже введенных понятий и методов. Перед исследователями открылось необозримое поле деятельности, к «обработке» которого начали прилагать свои усилия многие ученые, но уже преимущественно вне пределов Франции.
§ 9. Другие вопросы теории функций
В предыдущих параграфах описаны многие результаты, полученные французскими математиками в теории функций. Но они не исчерпывают круга вопросов, изучавшихся ими. Так как еще не рассмотренные достижения не образуют чего-то цельного, то мы решили посвятить настоящий параграф обзору некоторых более или менее изолированных, по крайней мере внешне, направлений исследований. Видимо, на первое место по своему значению следует поставить введение Лебегом понятия измеримой функции.
Общее понятие функции действительного переменного существовало в математике давно. С разной степенью осознанности и четкости оно использовалось Эйлером, Лакруа, Коши, Фурье, Лобачевским, Дирихле, Риманом и другими математиками, достигнув кульминации в общем определении Дедекинда (1887 г.)
Метод суммирования Чезаро в теорию тригонометрических рядов ввел в 1900 г. Фейер. Он указывал, что к этой идее его привели работы Бореля по расходящимся рядам. Осознанное же введение сюда методов суммирования Римана и Пуассона было осуществлено Лебегом, который впервые стал их применять в смысле суммирования почти всюду.
80
и Кантора (1897 г.) как произвольного однозначного соответствия двух абстрактных множеств.
Вместе с тем, как заметил Ганкель в 1870 г., понятие такой общности является чисто номинальным в том смысле, что в предлагавшихся определениях давалось наименование некоторому объекту исследования, но отсутствовали математические средства для его изучения. И, как писал Лузин [1, с. 48], «понятие функции, ставящееся, таким образом, слишком общо, чтобы быть источником многих предложений. Почти не существует теорем, относящихся к этому общему определению функции. Поэтому для того, чтобы можно было идти вперед и строить различные теории, образующие математические дисциплины, теория функций действительного переменного вынуждена ограничить поле своих исследований и обратиться к рассмотрению более или менее широких классов функций».
И действительно, в ходе развития анализа и теории функций на общее понятие функции обычно накладывались те или иные ограничения, например: быть непрерывной, входить в классификацию Бэра и т. п. Наиболее общим ограничением, в рамках которого, по существу, развертывается вся теория функций с начала текущего столетия и до настоящего времени, является накладываемое на функцию условие быть измеримой.
