Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
, Если системы Si и б, равносильны, то, помимо гомоморфизма ср: 21 -> 95, найдется и гомоморфизм г|з: 3521, переводящий bt в «г. Так как совокупности {яг | г ? /}, {6,1 і б I) порождают системы 21, 95 и агфф = а?, Ь;т|)ф = bj, то "ф — ф-1, 21 ^ 95.
Теорема Дика указывает, каким образом при фиксированной совокупности порождающих {гг | і ? /} можно изменить совокупность определяющих соотношений (©, чтобы при этом определяемая система 21 осталась неиз= менной. Посмотрим теперь, как следует менять совокупность © при изменении совокупности порождающих Zi, чтобы определяемая система оставалась неизменной.
Теорема 6 (теорема Тице). Пусть в произвольном классе К совокупность порождающих Zi, і ? и определяющих соотношений (3 определяет систему 21. Присоединяя к совокупности порождающих новые символы ха, а к совокупности (© какие-нибудь соотношения вида ха = fa (Zi, . . ., Zk), получим совокупности порождающих и соотношений, определяющих ту же систему 21. Обратно, пусть в совокупности & есть соотношения вида za — fa (zi, • • м zk) (a € J), где символы za не входят в записи термов fa. В каждом из остальных соотношений совокупности (а вместо вхождений символов Za подставляем термы fa (гг, . . .,. zk). В результате получим новую совокупность соотношений (©*, в записи которых символы za не участвуют. Выбрасывая из списка порождающих символы za (а 6 /), получим сокращенную совокупность порождающих z% (Я ? / \ /), которая вместе с совокупностью соотношений (©* определяет в классе Й снова систему 21.
Докажем первое утверждение. Рассмотрим какое-нибудь отображение Zi -> at (at ? ЭД), обладающее свойствами i), ii), iii) теоремы 1. Дополнительные символы ха отобразим в соответственные элементы Ъа = = fa (at, . . ., ak) б 21. Пусть Zi ти ха ->• па — отображение символов Zi, Xa в произвольную й-систему при котором соотношения из <?> и соотношения Xa = ,§ 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
283
~ fa (гь • • •> zk) истинны в 5Ш. Согласно ІІІ) найдется гомоморфизм ф: 21 2Л, переводящий at в Jni (і ? I). Так как fa (ait . . ., ah) ф = /а (ти . . ., тй), то гомоморфизм ф переводит Ъл в па, что и требуется.
Докажем второе утверждение. Рассмотрим снова отображение Zs-+ as (as Є 21, s Є І), обладающее свойствами і), ii), iii). Так как аа = /а (аг, . . ., ak), то сокращенная совокупность элементов ах (Я Є I \ /) будет все еще порождать систему 21. Ясно, что при отображении Zx-+ ах (К ? I \ J) все формулы совокупности <2>* истинны в 21. Пусть Zx ш% (Я ? I \ /) — отображение сокращенного списка порождающих символов в какую-то К-систему 9Л, при котором формулы из <&* истинны в SOh Берем в SJl элементы та = fa (mt, . . ., mk) и рассматриваем отображение Zs-^ms (s ? I). При этом отображении в системе ЭД1 истинны все формулы из <В, и потому существует гомоморфизм ф: 21 -»- ЗЛ, переводящий as в ms
(sei).
Алгебраическая системы 21 называется конечно пред-ставимой или конечно определенной (finite presented) в классе К, если в 21 существует такая конечная порождающая совокупность элементов, в которой 21 может быть определена в классе Й конечной совокупностью <& определяющих соотношений.
Порождающая совокупность элементов системы 21 называется ее базисом, если никакая истинная часть этой совокупности не порождает 21. Из теоремы 2 п. 6.1 следует, что в алгебраической системе, порожденной конечной совокупностью элементов, каждая порождающая совокупность содержит некоторый базис. В силу определений каждая конечно представимая система конечно порождаема. Ниже будет показано на примерах, что обратное неверно. Поэтому можно было бы подумать, что возможен и случай, когда конечно порождаемая система 21 в одном базисе допускает конечную определяющую совокупность соотношений, а в другом нет. Однако из теоремы Тице вытекает опровергающее
Следствие 7. Если в некотором классе К конечно порождаемая система 21 в каком-то базисе может быть определена конечной совокупностью определяющих соотношений, то в классе Я система 21 в любом базисе может 284
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
быть определена конечной совокупностью определяющих соотношений. \
Пусть Z1, . . ., Zs и x1, ..., xt — базисы системы 21, (В — система определяющих соотношений в первом базисе. По условию
Xj = fj(Zi,---,Zs) (/=1,...,0, (H)
Zi = gl (X1, . . ., Xt) (і = 1, . .., s), (12)
где jj, gi — подходящие термы от указанных предметных символов. Согласно теореме Тице в объединенной совокупности порождающих Z1, . . ., zs, X1, ..., xt система 21 определяется совокупностью соотношений (©!, состоящей из © и формул (11). Формулы (12) являются следствиями системы ©і в классе St, и потому, согласно теореме Дика, присоединяя их к совокупности (S1, получим совокупность соотношений определяющую ту же систему 21. Применяя к совокупности (а2 второе утверждение теоремы Тиде, видим, что если в в каждой формуле вместо символов Zi подставить всюду соответствующие термы gi (хи . . ., xt), то получится совокупность соотношений (а*, определяющая систему 21 в базисе X1, . . ., xt. Если исходная совокупность (© конечная, то и совокупность (©*, очевидно, конечная.
