Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для доказательства достаточности воспользуемся теоремой 3. Пусть совокупность 3 V-приводимая и 2Г — какая-то ©-подсистема некоторой ©-системы 95. Тогда каждая формула A (zai, . . ., zan) будет эквивалентна на 95 подходящей V-формуле
(Vy1 ... ys) SB (уи . .., УSl zCl 1» • • • ! Zan). (16)
Так как из истинности формулы (16) в произвольной системе следует ее истинность и в любой подсистеме, содержащей элементы Ct1, . . ., ап, то из истинности А в 95 следует ис тинность формулы А и в 21. В силу тер- § 10]
ПОЛНОТА И МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
265
ремы 3 это показывает, что совокупность <г> модельно полная.
Необходимость. Пусть совокупность формул © модельно полна, и пусть задана какая-то формула Л (Xi, • ¦ ., хп) сигнатуры Q со свободными предметными переменными хи . . ., хп. Расширим сигнатуру Q, добавив в нее новые предметные символы аи . . ., ап, и положим Q1 = Q U {аи . . ., ап}.
¦ Обозначим через Я! класс систем сигнатуры Q1, определяемый совокупностью формул и пусть Й — подкласс тех Й-систем, в которых истинна формула Л (а1? . . ., ап). Подкласс 2 наследственный в Я!. Действительно, пусть її — какая-нибудь ЙІ-подсистема S-си-стемы 95. В ЇЇ и в 95 истинны формулы из <&. Поэтому 21 — элементарная подсистема в 35. По условию в 95 истинна формула А (аи . . ., ап) (аи . . ., ап ? її). Из элементарности її в 95 вытекает, что указанная формула истинна и в її, т. е. її ? Й.
Так как классы ffi, S аксиоматизируемы, то они ультразамкнуты. Из ультразамкнутости A, S и наследственности S в Ш следует, что подкласс 2 универсально аксиоматизируем в ^ (п. 7.2). Но S аксиоматизируется внутри ffi одной аксиомой Jh (аи . . ., ап). Поэтому 2 будет аксиоматизироваться внутри Sl одной V-формулой. Пусть это будет формула
(Vyl ...уа)3& (Уи ...,ys, a j.....an). (17)
Подкласс S выделяется из класса Я любой из формул (17) или Jh (Ci1, . . ., ап). Поэтому на классе Я!
Л (аи ..., an)^(Vyt . . . ys) Ж (уи . . ., ys, at, . . ., ап)
и, следовательно, из <& вытекает эквивалентность (Vx1 .. . хп) (Л (хи . .., хп) ¦*->¦
^ (Vy1 ...ys)38 (yi, .. ., ys, x1, ..., хп)),
показывающая, что совокупность формул © V-приводима.
Вспоминая, что совокупность формул © называется V-полной в сигнатуре Q, если для каждой закрытой V-формулы Ф сигнатуры Q либо Ф, либо "1 Ф вытекает из <$, получаем 266.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Глі IV
Следствие 6. Для того чтобы модельно полная совокупность формул 3 была полной, достаточно (и, очевидно, необходимо), чтобы 3 была V-полной.
В самом деле, в силу теоремы 5 совокупность 3 V-при-водима, и потому произвольная закрытая формула Л сигнатуры Q эквивалентна в классе КЗ (см. п. 6.4) подходящей закрытой V-формуле сигнатуры Q.
Примеры и дополнения
1. Если совокупность S замкнутых формул конечной или счетной сигнатуры категорична в несчетной мощности, то она категорична и в любой другой несчетной мощности (М о р -лей [46]).
2. Привести пример совокупности замкнутых формул, категоричной в мощности континуума, но не категоричной в счетной мощности. ГЛАВА V
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
Многообразиями и квазимногообразиями алгебр называются классы алгебр, которые можно задать посредством совокупности тождеств или соответственно квазитождеств (условных тождеств). Так как тождества и квазитождества являются V-формулами, то многообразия и квазимногообразия представляют собой частные типы универсально аксиоматизируемых классов алгебр, общие свойства которых были рассмотрены в § 7. Особое положение квазимногообразий и в особенности многообразий в общей алгебре определяется тем обстоятельством, что многие структуры, подробно изучаемые в классической алгебре, такие, как группы, кольца, решетки, алгебры Буля и т. п., образуют многообразия.
Вопросы погружаемости систем одного многообразия в системы другого многообразия, теория определяющих соотношений и некоторые другие разделы алгебры находят свое наиболее естественное выражение в теории квазимногообразий.
Всюду в дальнейшем изложении условимся понимать под классами алгебраических систем только абстрактные классы (см. п. 8.2).
§11. Общие свойства
11.1. Характеристические свойства. Рассмотрим алгебраические системы какой-то фиксированной сигнатуры Q. Согласно п. 7.1 формулы вида
Р(1и -..,її»), Fii І.....їт) = ї (Я,-F1GQ), 268
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
где s, s1, s2, ... 6 {хь X2, . . ., Xk), называются атомарными формулами сигнатуры Q от X1, х2, • - ., Xk-Формулы более сложного вида
P (/J (X1, . , . , Xk), . . ., /„ (Xi, . . . , Xft)), /(^1.....xft) = ?(xl5 . . . , Xfe),
где /, g, Д, . . ., Jn — некоторые термы сигнатуры Q, P^Q, называются квазиатомарными формулами сигнатуры Q от переменных X1, . . ., xh. Иногда для краткости формулу / = g записывают в виде P (/, g), понимая под P знак равенства и включая его в сигнатуру формулы.
Пусть J1 (xj, . . ., Xft), . . ., Js+i (X1, . . ., xk) — какие-то квазиатомарные формулы сигнатуры Q (включающей равенство) от переменных Xi, ..., xk. Тогда формулы вида
(Vx1 ... xh) Ji (Xi, xh) (1)
