Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
При изучении свойств полных совокупностей (п. 10.1) оказалось полезным понятие диаграммы D (И) алгебраической системы 21 и понятие расширенной сигнатуры ?2?. Опираясь на эти понятия, вводим следующее определение.
Совокупность формул <S сигнатуры ?2 называется модельно полной (в данной сигнатуре ?2), если для каждой алгебраической системы 21, удовлетворяющей аксиомам Si, совокупность ©UD (И) полна в сигнатуре ?2?.
Для сравнения введем еще вспомогательное понятие слабой полноты, называя совокупность © слабо полной, если для каждой системы 21, удовлетворяющей €>, совокупность <&\J D (21) полна в первоначальной сигнатуре ?2.
Ясно, что все полные и все модельно полные совокупности являются и слабо полными. Обратное неверно, как это видно из следующих простейших примеров. § 10]
ПОЛНОТА И МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
257
Рассмотрим совокупность <3 формул Fl — F8 п. 10.1, определяющих концепцию алгебраически замкнутого поля. Ни любая из формул F9, ни совокупность формул FlO не зависят от €>, т. е. ни они сами, ни их ложность не следуют из <>>, и поэтому совокупность @ не полная. В то же время диаграмма D (21) любого поля St содержит либо формулу р-1 = 0 (если характеристика St равна р), либо совокупность формул FlO (если характеристика St есть нуль). Таким образом, совокупность (SlJZ)(St) содержит или полную в сигнатуре Q = {+, 0, 1} совокупность Fl — F8, F10, или одну из полных в этой же сигнатуре совокупностей, состоящих из формул Fl — F8 и одной из формул F9. Поэтому для любого поля St совокупность &{)D (St) полна в сигнатуре Q и, следовательно, совокупность © слабо полная. Впрочем, при помощи подходящей модификации признака Воота легко убедиться, что концепция алгебраически замкнутого поля не только слабо полная, но и модельно полная.
Чтобы привести пример полной, но не модельно полной совокупности, рассмотрим концепцию двусторонне ограниченного в себе плотного упорядоченного множества, определяющуюся формулами Ll — L4, L8 из п. 10.1. Обозначим эту совокупность через © и добавим к ней диаграмму модели St = ([0, 1], <;>, где [0, 1] — совокупность всех рациональных чисел х, 0 ^ х 1. Формула (Vx) (х Ф z0 z0 х) имеет сигнатуру но ни она сама, ни ее отрицание не вытекают из (?> U D (St). Действительно, в модели ([0, 1], Йщ) упомянутая формула истинна, а в модели ([—1, 1], ^?) она ложна. Таким образом, совокупность €> полная, но не модельно полная.
Алгебраическая система St0 называется первичной системой или первичной моделью для совокупности формул <& сигнатуры ?2, если St0 удовлетворяет <2> и каждая система, удовлетворяющая содержит подсистему, изоморфную St0.
Теорема 1. Если слабо полная совокупность формул обладает первичной моделью, то эта совокупность полная.
Пусть совокупность формул <& ' сигнатуры Q слабо полная и St0 — первичная модель для €>. По условию
17 А. И. Мальцев 258. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Глі IV
совокупность ©і = €> U D (St0) полна] в сигнатуре Q. Достаточно показать, что каждая формула Jk сигнатуры Q, вытекающая из Зі, истинна на произвольной модели 95 для совокупности 3- Модель 95 содержит подмодель 950, изоморфную St0. Поэтому существует модель St, изоморфная 95 и содержащая SIo в качестве подмодели. Формула Л следует из совокупности 3[)D (St0), содержащейся в совокупности <а U D (St). Поэтому Jk вытекает и из последней совокупности. Но St — модель для этой совокупности, поэтому Jk истинна в модели Si, а потому истинна и в модели 95, изоморфной Si.
Из теоремы 1, в частности, следует (А. Робинсон [55]), что каждая модельно полная совокупность, обладающая первичной моделью, является полной. Однако существуют полные совокупности, обладающие первичной моделью, и тем не менее не модельно полные. Например, каждое двусторонне ограниченное в себе плотное упорядоченное множество содержит подмодель, изоморфную отрезку ([0, 1], рациональных чисел. Этот отрезок является, таким образом, первичной моделью для совокупности формул Ll — L4, L8 из п. 10.1, определяющей класс упорядоченных множеств с указанными свойствами. Мы видели, что упомянутая совокупность полная, но не модельно полная.
В п. 10.1 было указано, что каждую совместную совокупность формул фиксированной сигнатуры Й можно дополнить до полной совокупности формул той же сигнатуры. Последний пример показывает, что для модельной полноты это уже неверно: существуют полные совокупности, не являющиеся модельно полными, т. е. совокупности, которые по причине полноты далее уже нельзя пополнять, оставаясь в пределах заданной сигнатуры. Положение меняется, если допускается обогащение сигнатуры.
Теорема 2. Полное формульное обогащение 'З* любой совместной совокупности формул 3 является модельно полной совокупностью в обогащенной сигнатуре.
Полное формульное обогащение строится так. Пусть Q — сигнатура заданной совокупности формул 3. Рассматриваем всевозможные незакрытые формулы Jx • ¦ ¦, X71 ) (А, < а) сигнатуры Q со свободными § 10] ПОЛНОТА И МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА 259
предметными переменными Xi, . . ., хп . Для каяедой такой формулы Ax вводим особый, не содержащийся в Й, «л-арный предикатный символ Sx и записываем формулу
