Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 5. Каноническое вложение алгебраической системы 21 в любую ее улътрастепенъ 211ID является элементарным вложением.
Если для некоторого класса формул Г 2t <Сг23> то 93 называют T-расширением системы 2t. Е-расширения называются элементарными расширениями.
Следствие 6. У каждой бесконечной алгебраической системы существуют элементарные расширения, мощность которых больше любого наперед заданного кардинального числа т.
Действительно, пусть множество I имеет мощность т.
Согласно теореме 5 из п. 8.5 существует такой ультрафильтр D над I, что
|2I7/D|>2m>m.
Отождествляя систему 21 с ее каноническим образом в 211ID, видим, что WlD есть элементарное расширение 21, имеющее требуемую мощность.
Для конечных алгебраических систем положение иное. 240 ІІРОЙЗВЕДБЙЙЙ Й ЙОЛЙЫЕ КЛАССЫ і!ГЛ. IV
Следствие 7. Если класс формул Г содержит все формулы вида
(Vx1 ., . xn+1) (Xi= X2 У X1 = X3 \/ ... \/ Xn= X7m), (2)
то каждая конечная Г-подсистема И произвольной алгебраической системы S совпадает с Sb. В частности, любая ультрастепень St1//) конечной алгебраической системы St изоморфна St.
В самом деле, пусть число элементов St равно п. Рассмотрим формулу (2). По условию эта формула принадлежит классу Г. Она истинна в St и St Следовательно, формула (2) истинна и в системе 35, т. е. 95 имеет не более п элементов. Так как St S 95 и | 95 | < I SI I, то SI = 95.
Введем одно вспомогательное понятие. Рассмотрим какую-нибудь формулу 1-й ступени Л (Xi, . . ., хт), содержащую свободные предметные переменные X1, . . ., Xm. Формулы
(Bx1 . . . хт) A, (Vx1 .. . xm) Jb
условимся называть соответственно !-закрытием и V-закрытием (по переменным x1, . . ., хт) формулы Jb.
Следующая более содержательная теорема имеет своим источником статью Фрейн а, Морел и Скотт [66].
Теорема 8. Пусть класс формул Г удовлетворяет условиям:
iii) для каждой из двух T-формул в классе T существует формула, равносильная их конъюнкции;
iv) 3-закрытие любой Y-формулы принадлежит Г. Алгебраическая система St тогда и только тогда
Г-неотличима от системы 95, когда St T-вложима в подходящую ультрастепень Sb1ID системы 95.
Достаточность очевидна. Действительно, если SI ^r 95'Д), то, согласно теореме 1, ^B1ZD=S и, значит, 95jID ^gr 35. Применяя следствие 3, получим SI ^r 95.
Докажем необходимость. Каждому элементу а Є SI ставим в соответствие предметное переменное za, которое мы будем предполагать не входящим в сигнатуру ?2 систем SI и 95. Рассмотрим совокупность I* всех закры- § 9] НЕОТЛИЧИМОСТЬ й ЭЛЁМЕНТАРЙАЯ ВЛОЖЙМОСТЬ 241
тых формул сигнатуры Q U {гв 1^6?}- Каждая формула А из І* является либо закрытой формулой сигнатуры Q, либо формулой A (zai, . . ., ZaJ сигнатуры Q, содержащей свободные предметные переменные Zai, . . . . . ., Zan, где йі, . . й„ — какие-то попарно неравные элементы її. Обозначим через I множество тех формул A (zai, . . ., Zan) из /*, для которых A Ia1, . . ., ап) истинна в И. Множество I обычно называют Г-описанием системы а и обозначают символически через Or (?)-
Пусть А (Zai, . . ., ZaJ QI. В силу iv) формула (3zai • • • Zq^ А (Zax, . . ., ZaJ принадлежит классу Т, имеет сигнатуру Q и истинна в системе И. Согласно предположению a ^ г». Следовательно, формула (3 Za1 . . . Zan) A (zav • • ., zaJ истинна и в 95, т. е. в 95 найдутся элементы . . ., Ъп, для которых
Аъ{Ьи ...,Ъп) = И. (3)
Допустим, что для каждой формулы AQl = Or (а) соответствующие элементы fcj, ...,&„ в 35 как-то выбраны (например, при помощи аксиомы выбора). Вводим функ-цито /(х), полагая
fjf(ai) = bi (1 = 1,..., п).
хфаи ..., хфап),
где Ъ — произвольный фиксированный элемент из 95. Далее вводим для каждого a Q а функцию ga (t) из / в 35 с помощью соотношения
Sa (А) = fjt (a) (A Q I).
Соответствие a—^ga является отображением а в 35*. Однако оно может не удовлетворять требованиям теоремы. Чтобы получить Г-вложение, нам надо фильтровать 951 по надлежащему фильтру. Для каждой формулы A (zai, . .., zan) QI полагаем
= ^ei-M(Mai), ...,f&(an))=H}. (5)
Каждое множество I^ не пустое, так как из (3) следует, что AQljf,. Более того, не пусто-и пересечение
16 А. И. Мальцев 242
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПбЛНь1Ё КЛАСЙЫ
?гл. IV
любой конечной совокупности ijj, ..., I<g множеств вида (5). Действительно, согласно ііі), в классе Г существует формула A (zai, ..., zan), равносильная конъюнкции J5 & ... &<ё. Из (3), (4), (5) видно, что J Є П • • • fUg-Обозначим через D какой-нибудь ультрафильтр над /, содержащий все множества Ic^ (JbtzI). Покажем, что отображение
о: a gaD
является искомым Г-вложением St в Sb1ID.
По определению, для каждой формулы A (zai, ..., zajl) из I имеем
А (а&, ..., апа) — И <=> SS'/D
o{®?I\Jb (gai (#),..., gan т = U}?D.
Далее,
I \ A(gai W.....gan (&))=Щ =
= {®tI\Jb(j Cp(Cii), fgo (an))=== И) ?D,
ю
и, следовательно, выражение А (а4а, . .., апа) истинно в %TID.
Итак, если какая-то Г-формула А (Xil . . ., хп), имеющая сигнатуру Q и свободные предметные переменные Xi, . . ., хп, истинна в St для Xi = ai, . . ., хп = ап, то, рассматривая формулу A (zai, . . ., ZaJ из I, видим, что A (ato, . . ., апо) истинно в Sb1ID, что и требовалось.
