Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5 (признак Воота [12]). Если все модели совокупности формул 3 сигнатуры Q бесконечны и совокупность 3 ТйГполна (Q1 s O) в некоторой мощности ш, не меньшей I Q I ,то совокупность 3 ^Q Гполна.
В частности, если совокупность формул 3 конечной или счетной сигнатуры не имеет конечных моделей и категорична в некоторой мощности, то совокупность 3 полная.
Допустим, что 3 не TQj-полная. Тогда она будет иметь какие-то не !^эквивалентные модели SE и 35. Последнее означает, что найдется закрытая TQj-формула Л-, истинная в одной из упомянутых моделей и ложная в другой. Пусть Л истинна в І и П Jk истинна в 55. По условию модель SI бесконечна, заданная мощность ш254.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Глі IV
бесконечна и m | Q |. В силу следствия 6 п. 9.2 отсюда вытекает, что существует модель SI1 мощности ш, элементарно эквивалентная 21. На основании того же следствия заключаем, что существует модель SS1 мощности ш, элементарно эквивалентная 95. Из 21 = SI1 следует, что в SI1 истинна формула Jt, а из 95 = SS1 следует, что в S1 истинна формула 1 Jh. Однако модели St1^1 имеют мощность шив каждой из них истинны все формулы из <3. По условию модели St1 и 951 !"(^-эквивалентны и в то же время Г?2гформула Jh истинна в St1 и ложна в SS1. Полученное противоречие доказывает теорему.
Несмотря на свою простоту и очевидность, признак Воота позволяет мгновенно установить полноту ряда систем формул, определяющих весьма важные алгебраические понятия. Рассмотрим некоторые из них.
Понятие (линейно) упорядоченного множества определяется аксиомами:
Li. (Vxy) (ж<у&?/<ж—>х = у), L2. (Vxyz) (ж<г/&j/<z —>x^z), L3. (Vxy) (х^у V г/<ж).
Присоединяя к ним аксиому
L4. (Vxy) (Эг) (х<^.у&хфу—>гфх&гфу&х<^ <z&z<z/),
получим определение понятия в себе плотного упорядоченного множества. Аксиомы
L5. (Vx) (Byz) (хф у&хфг&г/<ж&ж<г),
L6. (Ix) фу) (Iz) (х<у&уфг&у<?г),
L7. (Sx)(Vy) (3z) (у<х&уфг&г^у),
L8. (!ху) (Vz) (х ф у& ж< у & ж<г & z< у)
выделяют соответственно неограниченные, ограниченные слева и неограниченные справа, ограниченные справа и неограниченные слева, ограниченные слева и справа упорядоченные множества. Теорема Хаусдорфа § 1 утверждает, что все счетные в себе плотные линейно упорядоченные множества, удовлетворяющие одному из требований L5 — L8, изоморфны. Иначе говоря, теорема Хаусдорфа утверждает, что каждая из совокупностей формул Ll — L4,§ 10] НОЛЙОТА Й МОДЕЯЬНАЙ ЇІОДЙОЇА 255
L5; Ll — L4, L6; Ll — L4, L7; Ll — L4, L8 полна в мощности х0. Сигнатура этих совокупностей состоит лишь из символа ^ и все упорядоченные в себе плотные множества бесконечны. Согласно признаку Воота отсюда следует, что каждая из четырех упомянутых совокупностей формул полная.
Еще более интересный пример доставляет совокупность формул, определяющих понятие алгебраически замкнутого поля. В качестве сигнатуры поля мы выберем знаки + , • и индивидуальные предметные символы 0, 1. Понятие поля определяется аксиомами (см. п. 4.1):
Fl. 0=^=1,
F2. (Уж) (0 + ж = ж&1-ж = ж),
F3. (Vxyz) ((х + у) + Z = ж + (у + z) & ж (yz) = (ху) z),
F4. (Vxyz) (х (у -J- z) = ху + xz & (у + z) х = ух + zx),
F5. (Vxy) (ж + z/ = у + х&ху = ух),
F6. (Vx)(Iy) (ж + 1/ = 0),
F7. (Vx)(3y)(x^0~+xy = i).
Бесконечная последовательность аксиом
F8. (vx0xi ...хп) (3 у) (х0 (х0уп + хіуп-і+ ... +^) = 0) (п —-2, 3, 4, ...)
определяет понятие алгебраической замкнутости поля.
Говорят, что поле имеет простую характеристику р, если в нем выполнено условие
F9. 1 + 1+...+1 = 0 (р = 2, 3, 5, ...),
где слева стоит р слагаемых. Наконец, поле имеет характеристику 0, если в нем выполнена бесконечная система следующих аксиом:
F10. 1 + 1=^0, 1 + 1 + 1=^0,1 + 1+1 + 1=^0,...
Согласно теореме Штейница п. 4.2 алгебраически замкнутые поля тогда и только тогда изоморфны, когда они имеют одну и ту же характеристику и одну и ту же степень трансцендентности. Если степень трансцендентности конечна или счетна, то поле счетно. Если же степень трансцендентности несчетна, то мощность поля совпадает256 ЙРоИЗВЕДЁНЙЯ Й ЙОЛЙЫЁ КЛАССЫ [ґл. IV
со степенью трансцендентности. Это показывает, что совокупность формул Fl — F8 и одна из формул F9, а также совокупность Fl — F8,.F10 категоричны в любой несчетной мощности. Так как, кроме того, все алгебраически замкнутые поля бесконечны, то на основании признака Воота приходим к выводу, что концепция алгебраически замкнутого поля фиксированной характеристики является полной.
Отсюда следует, например, что поле алгебраических чисел и поле всех комплексных чисел элементарно эквивалентны, так как оба они алгебраически замкнуты и имеют характеристику нуль.
10.2. Модельная полнота. Признак полноты Воота, сводящий вопрос о полноте заданной совокупности формул © к вопросу об изоморфизме алгебраических систем, удовлетворяющих 3 и имеющих некоторую фиксированную бесконечную мощность, в ряде важных случаев неприменим просто потому, что исследуемая совокупность хотя и полная, но не категоричная ни в какой мощности. Поэтому важно иметь и другие признаки полноты, не основывающиеся на категоричности. Одним из таких наиболее сильных и наиболее часто используемых в настоящее время признаков является признак, основанный на понятии модельной полноты, который был введен А. Робинсоном и оказался интересным с чисто теоретической точки зрения.