Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь повторим процесс, взяв в качестве исходного множества элементов совокупность M1 вместо М. Совокупность всех выбранных элементов обозначим через M2. Продолжая указанный процесс, получим цепочку множеств
IcI1Cl2C.,, (1)
Обозначим через А объединение всех множеств Mi, и пусть 21 —подмодель модели 95, имеющая носитель А. Из (1) следует, что
|2Г[<ш + т + ш+ ... = N0-Ht = т.
При помощи теоремы 1 легко убедиться, что подмодель 21 элементарна в 95. Действительно, пусть (3z) Jk (х) — какая-нибудь закрытая формула сигнатуры ?2?, истинная в 95. Так как эта формула содержит лишь конечное число символов из то она будет формулой сигнатуры Qj^i 246 ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
для достаточно большого і. Тогда при построении множества Мі+І мы должны были выбрать в 95 какой-то элемент а, для которого Л (а) истинна в и внести этот элемент в Mi+l. Поэтому в St существует элемент а, для которого A (а) истинна в 95. На основании теоремы 1 заключаем, что модель St элементарна в 95, а потому St не только подмодель, но и подсистема в 95, удовлетворяющая требованиям доказываемой теоремы.
Следствие 4. Если мощность бесконечной алгебраической системи 95 не меньше мощности ее сигнатуры Q, то для любого множества M ? 35 и любой мощности п, удовлетворяющей неравенствам
тах(|М|, |Й|, %)<п<|95|, (2)
в 95 существует элементарная подсистема St мощности it, которая содержит М.
В частности, каждая несчетная алгебраическая система конечной или счетной сигнатуры содержит бесконечно много счетных элементарных подсистем.
Действительно, пусть Mi = M U M0, тогда M0 — произвольное множество элементов 35, имеющее мощность п. Из (2) следует, что | Mi | = п. Согласно теореме 3 в 95 существует элементарная подсистема St, содержащая Mi, мощность которой не превосходит шах ( I Q I, н0, j Mi I ) = п. Так как Mi = St, то I St I ^ Xi и, следовательно, | St | = п.
Согласно п. 9.1 алгебраическая система 95 называется элементарным расширением системы St, если St есть элементарная подсистема системы 95.
Теорема 5. Каждая бесконечная алгебраическая система St сигнатуры Q обладает элементарным расширением имеющим любую наперед заданную мощность п, равную или большую | Q | + | Й |.
Пусть / — произвольное множество мощности п. Согласно теореме 5 из п. 8.5 существует такой ультрафильтр (I, D), что
I St'/O I > 2» > п.
Согласно п. 9.1 существует элементарное вложение алгебраической системы St в ультрастепень WID и, значит, существует алгебраическая система 95, изоморфная SI1ID § 9 ] НЕОТЛИЧИМОСТЬ И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ВЛОЯШМобТЬ 23?
и содержащая 21 в качестве элементарной подсистемы. Так как | 95 | >¦ п, то существует элемент b ^ 55, не входящий в 21. Полагая M = 21 U видим, что заданная мощность п удовлетворяет условиям (2) следствия 4, и потому в 35 найдется элементарная подсистема (?, содержащая множество M и имеющая мощность п. Согласно п. 9.1 (см. следствие 3) имеем
И = ®, St<95, ©<35 =Ф St<?.
Таким образом, © удовлетворяет всем условиям теоремы 5. Легко построить пример, показывающий, что в теоре-
ме 5 условие it | Q слабым условием п
+ | St | нельзя заменить более 21 |. Пусть сигнатура Q состоит из предметных символов и унарных функциональных символов /я, где а — произвольная конечная последовательность (аи . . ., ат>, Cii E {0, 1}, т = 1, 2, . . ., а X — любая бесконечная последовательность X = = (?,!, X2, . . .), Xi ? {0, 1}- Положим далее Mm = = (X1, ..., Xm) и обозначим через А совокупность всех конечных последовательностей а. Полагая аа = а и /я (а) = = \Х\т, если длина а равна т, мы обратим А в алгебраическую систему St сигнатуры Q. Легко видеть, что в St истинны аксиомы вида
хфаа & ... &хфа^ —> /я (ж) ф Jix (ж), (3)
где аа, ..., aY—последовательности длины <т и [Х]тф[ц]т. Поэтому аксиомы (3) истинны и в каждом элементарном расширении 95 системы St. Пусть 35 =Z=St и ж ^ Si, ж ?95. Тогда посылка импликации (3) будет истинна для любых аа, ..., ау, и потому f% (х) Ф (ж) для произвольных X Ф (л. Таким образом, 95 содержит континуум различных элементов /я (X), и потому J 951 > 2Ко. Итак, | St | = х0 и в то же время каждое элементарное расширение системы SI, не совпадающее с St, уже несчетно.
Из следствия 4 и теоремы 5 вытекает нижеследующее полезное замечание.
Следствие 6. Для каждой бесконечной алгебраической системы St произвольной сигнатуры ?3 и каждой бесконечной мощности m 1 Q | существует алгебраическая система St1 мощности Ш, элементарно эквивалентная истеме St. 248.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Глі IV
В самом деле, если ttt | St |, то, согласно следствию 4, в SI существует элементарная подсистема St1 мощности ш, элементарно эквивалентная Si. Если же Ш > I St I, то, согласно теореме 5, у системы St найдется элементарное расширение St1 мощности ш, которое также элементарно эквивалентно Si, что и требовалось.
Следствие 4 гарантирует, что по меньшей мере у несчетных систем счетной сигнатуры совокупность элементарных подсистем бесконечна. Следующая теорема указывает простейшие структурные свойства этой совокупности.
