Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из характеристик универсально аксиоматизируемых классов, полученных в пп. 7.2 и 8.3, легко выводятся и характеристические свойства квазимногообразий.
Теорема 1 [40]. Для того чтобы класс систем Ш бщл квазимногообразием, необходимо и достаточно, чтобы класс $ был
i) локально замкнут-,
ii) мультипликативно замкнут',
iii) содержал единичную систему.
Необходимость этих условий была установлена выше. Обратно, пусть класс. Я удовлетворяет этим условиям. В силу теоремы 1 п. 7.2 из і) следует, что класс й универсально аксиоматизируем. Согласно теореме 2 из л. 7.5 из условия ii) вытекает, что класс 5Ї аксиоматизируем с помощью хорновских V-формул. В п. 8.3 отмечалось, что каждая хорновская V-формула равносильна конъюнкции квазитождеств и, может быть, нескольких формул вида
(Vxi ... Xn) (н P1 (ft, ...,WV--Vnfs (fi, . - ., fm)), (5)
где /1? . . ., fm — какие-то термы от переменных Xi, . . . . . ., хп. Но в единичной системе формулы вида (5) ложны. Поэтому класс й аксиоматизируем при помощи одних квазитождеств.
Если вместо результатов § 7 воспользоваться результатами п. 8.3, то получится
Теорема 2. Для того чтобы класс систем S был квазимногообразием, необходимо и достаточно, чтобы Я был]
і) ультразамкнут;
ii) наследственен;
iii) мультипликативно замкнут;
iv) содержал единичную систему. 272
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Необходимость этих условий непосредственно следует из теоремы 1 и следствия 5 п. 8.3. Поэтому пусть класс $ удовлетворяет условиям i) — iv). Согласно следствию 5 из п. 8.3 из і) и ii) следует, что класс й универсально аксиоматизируем и потому локально замкнут. Применяя теорему 1, получаем, что й — квазимногообразие.
Выше отмечалось, что квазимногообразия замкнуты относительно фильтрованных произведений. С другой стороны, и ультрапроизведения и декартовы произведения суть частные случаи фильтрованных произведений. Поэтому в теореме 2 условия і) и iii) можно заменить одним условием замкнутости относительно произвольных фильтрованных произведений. В результате получаем
Следствие 3. Класс систем й тогда и только тогда является квазимногообразием, когда й
i) замкнут относительно фильтрованных произведений ;
ii) наследственен;
iii) содержит единичную систему.
Легко показать, что в формулировке этого следствия условие замкнутости относительно фильтрованных произведений нельзя заменить простой мультипликативной замкнутостью. Например, пусть р — простое число ж® — группа. Обозначим через &р подгруппу, порожденную в & р-ми степенями всех, элементов (S, и положим @о = = @n+1 = (Sn- Группа <& называется Др-группой, если <§ш = П @п — единичная группа. Легко проверяется, что класс всех Др-групп удовлетворяет условиям ii), iii), iv) теоремы 2. Однако этот класс не является локально замкнутым и потому не есть квазимногообразие. Действительно, каждая конечная циклическая группа порядка рт есть Др-группа. Поэтому локально циклическая группа Zp00, построенная в п. 3.3, локально вложима в класс Др-групп. Но сама эта группа не является Д^-груп-пой, поскольку для нее ZvrtOO = ZnOO- Так как класс Др-групп
P P .
наследственный, то группа Zp00 не вложима в него и, следовательно, этот класс локально не замкнут.
Следствие 3 позволяет указать явную формулу для минимального квазимногообразия, содержащего в себе произвольно заданный класс Й. В самом деле, пусть ,§ 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
273
заданный класс систем St имеет сигнатуру Q. Обозначим через (Ж совокупность всех квазитождеств сигнатуры й, истинных в каждой системе класса Si. Тогда KQSi будет классом всех систем сигнатуры Q, удовлетворяющих квазитождествам QSt, т. е. будет квазимногообразием. Ясно, что S? <= KQSt. Ясно также, что каждое квазимногообразие, содержащее класс St, содержит и квазимногообразие KQR. Таким образом, квазимногообразие KQSt является наименьшим из квазимногообразий, содержащих класс SL Оно иногда называется квазипримитивным замыканием класса Si.
Ftj Присоединяя к классу Я единичную систему, получим, класс, который мы будем обозначать через
Класс всех систем, изоморфных фильтрованным произведениям систем заданного класса St, обозначим через FSt. Через SFSte обозначим класс всех подсистем фильтрованных произведений Ae-систем (вообще для произвольного класса В через SS будем обозначать класс всех подсистем Й-систем).
Теорема 4. Для каждого класса систем St имеем
KQSi = SFSte.
Поскольку класс KQSt является квазимногообразием, содержащим в себе класс Si, то из свойств і), іі), iii), указанных в следствии 3, вытекает, что SFSte ?= KQSt. С другой стороны, квазимногообразие KQSt — наименьшее из совокупности квазимногообразий, содержащих St. Поэтому остается лишь доказать, что класс SFRe — квазимногообразие, т. е. что этот класс обладает свойствами i), ii), iii) из следствия 3. Свойства ii), iii) очевидны. Проверим і). Пусть задана последовательность Sfix (ц 6 M) систем класса SFiIe. Это значит, что для подходящих Ste-систем ©г и подходящих фильтров (Dix, Zm,)
И^П®,/^ (ІЄ !„)*).
