Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
называются тождествами или тождественными соотношениями, а формулы вида
(Vx1 ... хй) (Ji & ... & Js Js+1) (2)
называются квазитождествами.
В частности, если рассматриваются классы алгебр, то сигнатура ?2 предикатных символов не содержит, и тождества имеют вид
(Vx1 ... Xft) (/ (X1, .. ., xk) = g(xi.....Xft)), (3)
а квазитождества суть формулы вида
(Vx1 .. . xk) (I1= gt & ... & fs = gs fs+i = gs+i), (4)
где f, g, ft, glf ..., fs+i, gs+i—некоторые термы сигнатуры Q OT переменных X1, . . ., Xft.
Из этих определений следует, что тождества и квази-тодедества являются частными видами хорновских V-формул (п. 7.5). Отметим также, что каждое тождество (1) равносильно квазитождеству
(VX1 ... Xft) (X1 = X1 > Ji (Xi, .. ., Xft)). Обратное несправедливо. Например, квазитождество х<у&г/<2—»x<z не равносильно никакому тождеству, так как все тождества устойчивы относительно гомоморфизмов (п. 7.4), а указанное квазитождество неустойчиво. ,§ 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
269
Например, пусть SI1 = ({а, Ъ, с}, ^1) есть модель типа (2), в которой предикат задан следующим образом: a a, a Ъ, Ъ Ъ, с с, a с, с Ь, П Ъ а, b с, H с а. Рассмотрим также модель ЗІ2 = Ь, с}, полагая a ^2 a, b^2b,
С -<2 С, Ь <2 С, П й -<3 С, 1С <2 Ъ, 1 (рис. 1). Тождественное отображение множества {а, Ь, с) на себя является гомоморфизмом модели H1 на модель SI2. Легко Проверить, однако, что квазитождество истинно на SI1, но ложно на St3.
Класс S систем называется многообразием {квазимногообразием), если существует такая совокупность @ тождеств (квазитождеств) сигнатуры Q, ЧТО ffi СОСТОИТ ИЗ тех и ТОЛЬКО тех систем Рис- 1-
сигнатуры й, в которых истинны все формулы из Совокупность <В называется определяющей совокупностью многообразия или соответственно квазимногообразия. Многообразие (квазимногообразие) называется конечно определимым, если оно обладает какой-нибудь конечной определяющей совокупностью.
Так как каждое тождество равносильно соответствующему квазитождеству, то каждое многообразие является и квазимногообразием. С другой стороны, ясно, что квазимногообразия являются частным типом универсально аксиоматизируемых классов, и потому при изучении свойств квазимногообразий можно использовать свойства универсально аксиоматизируемых классов, изложенные в п. 7.2.
Каждое многообразие (квазимногообразие) является аксиоматизируемым классом алгебр. Покажем, что если многообразие (квазимногообразие) конечно аксиоматизируемо, то оно конечно определимо.
В самом деле, пусть многообразие й, определяемое какой-то бесконечной совокупностью тождеств <В, определяется некоторой формулой Ф. Это значит, что формула Ф является следствием бесконечной системы формул (©. В силу теоремы компактности формула Ф будет следствием подходящей конечной подсовокупности ИЗ (В, и потому '270
Квазимногообразия
?гл. V
многообразие H определяется конечной совокупностью тождеств <?>/.
В частности, если некоторое многообразие определимо конечным числом квазитождеств, то оно определимо и конечным числом тождеств.
Для каждой сигнатуры ?2 существует единственная с точностью до изоморфизма единичная система SIe, состоящая лишь из одного элемента е, для которого
F (е, . . ., е)=е, P (е, . . ., е) = И (F, P Є а).
Отсюда видно, что в единичной системе сигнатуры Q истинны вообще все тождества и квазитождества сигнатуры ?2. Иначе говоря, единичная система сигнатуры ?2 принадлежит каждому многообразию и каждому квазимногообразию этой сигнатуры.
Рассмотрим теперь произвольную последовательность
(і ? I) многообразий (или квазимногообразий) фиксированной сигнатуры ?2. Обозначим через €>j совокупность тождеств (квазитождеств), определяющих класс Jfi, и пусть €> — объединение всех совокупностей <S?. Ясно, что совокупность <>> определяет пересечение й классов St1i. Это пересечение не пустое, так как заведомо в него входит единичная система, и класс й — многообразие (или соответственно квазимногообразие).
Отметим далее, что среди всех квазимногообразий данной сигнатуры существует наибольшее. Это — многообразие всех систем сигнатуры ?2. Оно может быть определено тождеством
(Vx) (х = х).
Наименьшее из квазимногообразий данной сигнатуры также является многообразием. Оно, очевидно, характеризуется тождествами
(Vxy) (х = у), (Vxi . ..xk) P (хи ..., xk) (Р € ?2)
и состоит лишь из единичной системы. Оба эти многообразия называются тривиальными; первое иногда называют единичным, а второе — нулевым.
Из определения квазитождеств видно, что они являются частными типами хорновских аксиом (п. 7.5). Классы алгебраических систем, аксиоматизируемые хорновскими ОЁЩЙЕ СВОЙСТВА
271
аксиомами, замкнуты относительно фильтрованных произведений (п. 8.4). Поэтому произвольное фильтрованное произведение систем какого-нибудь квазимногообразия принадлежит этому же квазимногообразию. В частности, декартово произведение систем произвольного квазимногообразия принадлежит этому же квазимногообразию.
Отсюда следует, что если квазимногообразие не нулевое, то оно содержит бесконечные системы.
