Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Мальцев А.И. -> "Алгебраические системы" -> 95

Алгебраические системы - Мальцев А.И.

Мальцев А.И. Алгебраические системы — Наука, 1970. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiesistemi1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 133 >> Следующая


Теоремы Дика и Тице указывают следующий процесс перехода от определяющей системы соотношений (а в одной совокупности порождающих символов Zi (і ? I) к любой другой определяющей системе <а* формул в любой другой порождающей совокупности Zi (і ? /):

A) К символам Zi добавляем произвольные новые символы Zj(j 6 J, J f]7 = 0), а в совокупность (а добавляем формулы вида (11) в произвольном числе (по одной формуле для каждого нового переменного). Пусть (ai — новая совокупность.

B) В совокупность Ia1 добавляем произвольное число формул, являющихся следствиями системы <at в классе Я, и затем оставляем такую часть <а2 новой совокупности, из которой вытекают все отбрасываемые формулы.

C) Из расширенной совокупности порождающих символов Zx (X ? / U J) исключаем g$ систему f символов zr (г ? R), для каждого из которых в (а3 есть формула ,§ 11]

ОБЩИЕ СВОЙСТВА

285

вида

zr =Uizif . . ., Zh) (г, . . к (XR). (13)

В каждую формулу из вместо исключаемых символов подставляем их выражения (13).

Совокупность новых формул будет определять

систему Ш в порождающих Zi (i $ R). Из доказательства следствия 7 вытекает, что преобразованиями А), В), С) возможно перейти от системы определяющих соотношений в одной системе порождающих к произвольной другой определяющей системе соотношений в любой системе порождающих.

Преобразования А), С) имеют ясное алгоритмическое строение. Какова природа преобразований В)? Чтобы ответить на этот вопрос, мы предположим, что класс A есть квазимногообразие, определяемое квазитождествами:

(Vz1 ... xnJiPal(f(x))&...&PaPa{fix))-*Pa0ifix)). (14)

Здесь через Paiifix)) (a^U) обозначена формула вида

P if і (Zi, • • ¦ і Х"-а)> • • • j fk іхіі • • • , хпа)) і

где P — сигнатурный предикатный символ или знак равенства, /ь . . ., fh — какие-то термы сигнатуры Q от переменных x1, . . ., хпа. Формулы (14) могут содержать знак равенства, понимаемый в абсолютном смысле. Мы его релятивизируем, т. е. заменим в указанных формулах обычный знак = знаком = и добавим формулы

/у» ¦ . - гр -- ¦ /у» S. «у ¦ ¦ - /у>

<Лу-J^ = v^"!? 1 - оС-2 ^2 Ii

^^r. vCg ^^ ^2 —^ CC^ іXg^

X^ = ^tH-I & ... & Xn = Xji+ji - >

^ ^ (^IJ • ¦ • І Sn) — (^71+1 J • ¦ • » •^i = ^JI-M & . . . & ^тг+n ^ P (^li • • • ? ^тг)

з* .P (^п-и» . * * t ^тг-і-тг)*

(15)

Формулы (15) имеют тот же вид, что и формулы (14). Поэтому далее мы будем считать, что система (14) представляет собой полную систему формул (включающую 286

КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ

[Гл. V

формулы (15)) с релятивизированным знаком равенства, определяющую квазимногообразие 5Ї.

Пусть " теперь заданы произвольная совокупность порождающих символов Zi (і 6 /) и произвольная_сово-купность <3 квазиатомарных формул от переменных Zi. Подставив в послекванторную часть формулы (14) вместо переменных xi, . . ., хпа произвольные термы hl (zl5 . . ., Zs), . . ., (Z1, . . ., zs), получим формулу, которую сокращенно запишем в виде

Pai (/ (h (z))) & ... & Papa (f (h (z))) Pa0 (f (h (z))). (16)

Обозначим через ? совокупность всех формул (16), которые указанным способом можно получить из формул (14).

Далее строим последовательность (©0 — — • • • . . . = ISti Є • • • совокупностей квазиатомарных формул от Zi. По определению полагаем <&0 = <3, и пусть для некоторого натурального п ^ 0 совокупность (©„ известна. Ищем в совокупности ? такие формулы (16), у которых все подформулы Pat (/ (h (z))) (?=1, . . ., ра), входящие в Посылку, содержатся в (Bn. Правые части Pa0 (/ (h (z))) всех этих формул являются формальными следствиями формул из <Вп и формул (14). Присоединяя эти правые части к совокупности <Зп, получим по определению совокупность <ап+1.

Обозначим через Зон объединение совокупностей <Вп и покажем, что является множеством всех квазиатомарных формул OT переменных Zj, являющихся в классе Й формальными следствиями совокупности (?>.

Действительно, из процесса построения совокупностей <&п ВИДНО, ЧТО все формулы ИЗ (Sffl являются в классе К следствиями из (?>. Поэтому надо лишь показать, что квазиатомарные формулы, не входящие в (Sw, не являются следствиями совокупности (© в классе A. Иными словами, надо построить систему Я, определяемую в классе К порождающими символами Zi и формулами из <&, и показать, что все квазиатомарные формулы, истинные в Я при каноническом отображении Zi Ci (at б Я, г 6 /), содержатся в <?>©¦ ,§ 11]

ОБЩИЕ СВОЙСТВА

287

Обозначим через В совокупность всех термов сигнатуры Q от переменных Zi. На совокупности В определяем свободные термальные операции (п. 6.1) и полагаем отношение P (J1, . . ., fk) (Р ? Q; /i, . . fk ? В) истинным, если формула P (J1, . . ., fh) содержится в В результате получается алгебраическая система 95 = (В, й). Элементы f,g?B называем эквивалентными, если совокупность содержит формулу / === g. Так как при построении совокупности были учтены формулы (15), то отношение = является конгруенцией на системе 95 и мы можем образовать фактор-систему 95/=.

Канонический эпиморфизм о: 95 ->95/= дает отображение о: Zi -> Zi= (і ? /), при котором все формулы из <2зй истинны, а квазиатомарные формулы от Zi (і ? /), не входящие в ложны в 93/==. Остается лишь проверить, что 95/ == ? R, т. е. что в 95/ == истинны все квазитождества (14) (с абсолютным знаком равенства).
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 133 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed